Si te refieres a los lemas 6.22 y 6.23 de Fulton y Harris, estoy de acuerdo en que allí se saltan algunos pasos. Suponen que el lector tiene cierta familiaridad con los resultados de la teoría de módulos y las álgebras semisimples, etc.
Sin embargo, dicho esto, cualquier prueba de la dualidad Schur - Weyl que vayas a encontrar va a utilizar resultados de la teoría de módulos. Dos recursos alternativos para la Dualidad Schur - Weyl que me vienen a la mente:
-
Procesi's Grupos de Lie: Una aproximación a través de la teoría de invariantes - Para el teorema del doble centralizador, mira el capítulo 6 que trata de las álgebras semisimples. Para la dualidad Schur - Weyl, véase el capítulo 9 sobre la simetría tensorial.
-
Daniel Bump's Grupos de Lie - La parte sobre la dualidad Schur - Weyl se puede encontrar en la sección de temas del libro de Bump. Sin embargo, creo que las cosas se hacen a través del anillo de representación y no es el enfoque "habitual" de la dualidad clásica Schur - Weyl.
Sería mejor si pudieras decir exactamente en qué parte de los lemas 6.22 y 6.23 no entiendes para que pueda elaborar mi respuesta.
Aquí está mi opinión sobre la parte 2 de 6.22:
Primero suponemos que $U$ es irreducible por lo que $B = \Bbb{C}$ . En este caso, bastará con demostrar que $U \otimes_A W \cong Uc$ es unidimensional o cero. En primer lugar por Artin - Wedderburn obtenemos que $A$ es isomorfo a una suma directa de anillos matriciales $\bigoplus_{i=1}^r M_{n_i}(D_i)$ sobre algún anillo de división $D_i$ . Dado que no existen anillos de división de dimensión finita no triviales sobre $\Bbb{C}$ concluimos que $A = \bigoplus_{i=1}^r M_{n_i}(\Bbb{C})$ . Ahora bien, por suposición $W = Ac$ es una izquierda irreducible $A$ - y, por tanto, también es un ideal mínimo de la izquierda de $A$ . Identificaremos dicho ideal mínimo en una suma directa de anillos matriciales. Recordemos que un idempotente en un anillo $R$ se dice que es primitivo si no se puede descomponer como la suma directa de dos idempotentes ortogonales no nulos.
En un anillo semisimple como $A = \bigoplus_{i=1}^r M_{n_i}(\Bbb{C})$ los idempotentes primitivos son, por tanto, aquellos $r$ - tuplas de la forma $(0, \ldots, e,\ldots, 0)$ para $e$ un idempotente primitivo en $M_{n_i}(\Bbb{C})$ para algunos $i$ . Un idempotente primitivo en $M_{n_i}(\Bbb{C})$ es sólo un $n_i \times n_i$ matriz $E_{kk}$ para algunos $1 \leq k \leq n_i$ con todas las entradas a cero excepto la entrada $(k,k)$ . Por el teorema 3.1, capítulo 6 del libro de Procesi, todo ideal mínimo de la izquierda en $A$ es de la forma $M_{n_i}(\Bbb{C})E_{kk}$ con $E_{kk}$ una matriz de la forma descrita anteriormente. Tal ideal de izquierda es isomorfo a uno que consiste en tuplas con todas las entradas cero excepto la entrada $i$ . En esta entrada, todas las matrices tienen una sola columna no nula, la columna $k$ . Del mismo modo, $U$ puede identificarse con el ideal derecho de $r$ - tuplas que son cero excepto en el factor $j$ y en ese factor todos son cero excepto la fila $l$ decir. Ahora se deduce que $U \otimes_A W$ será cero a menos que $ j = i$ , en cuyo caso $U \otimes_A W$ es isomorfo al conjunto de matrices que son todas cero excepto en la entrada $(l,k)$ . Por lo tanto, $\dim U \otimes_A W \leq 1$ y la prueba en este caso es completa. En el caso más general de (ii), descomponemos $U = \bigoplus_i U_i^{\oplus n_i}$ en una suma de derechos irreducibles $A$ - módulos, por lo que
$$U \otimes_A W \cong \bigoplus_i (U_i \otimes_A W)^{\oplus n_i} \cong (U_i \otimes_A W)^{n_k} \cong \Bbb{C}^{n_k}$$
para algunos $k$ . Esto es claramente irreducible sobre $B = \bigoplus_j M_{n_j} (\Bbb{C})$ .
1 votos
No lo he comprobado, pero Capítulo 11 - Primeros teoremas fundamentales ¿trabajo?
1 votos
@Elliot ¿Con qué parte de la prueba tienes dificultades? Puedo ayudarte a explicarla.
0 votos
@Amzoti ¡Gracias! Tiene buena pinta. Estoy echando un vistazo ahora mismo, de momento todo bien.