La dualidad Schur-Weyl ( clásica ) y el doble conmutador solicitud de referencia

Question

Me gustaría pedir alguna sugerencia de referencia sobre el tema de la Dualidad Schur-Weyl para GLn ( directamente GLn, no a través del álgebra de mentira ) y el teorema de la doble conmutación.

La sección sobre este material del libro "Representation Theory" de Fulton y Harris debería satisfacer mis necesidades, pero encuentro las pruebas del libro un poco difíciles de leer ( por ejemplo, en la mitad de la prueba, utiliza una especie de "isomorfismo de ideales", aunque no se menciona un isomorfismo de ideales en ninguna parte ). Por lo tanto, la organización, las definiciones y el esqueleto del libro de Fulton-Harris son buenos para mí, pero no puedo entender realmente las pruebas.

Un libro, apuntes/notas de clase, o cualquier cosa en línea..etc estaría bien.

Gracias

Answer 1

A pesar de la excelente y detallada respuesta de BenjaLim, permítanme también enumerar algunas referencias que he utilizado (mi formación es más bien teórica de la representación de grupos simétricos, en lugar de teórica de Lie, por lo que esto da un sabor alternativo a lo sugerido por BenjaLim)

(1) Goodman-Wallach "Representations and Invariants of Classical Groups"; que creo que es la referencia más clara que he leído (ventaja: configuran la teoría de dobles conmutantes de forma abstracta y desarrollan la dualidad SW a partir de ella)

(2) Martin "Schur algebras and representation theory"; hay algunos pasos que se ha saltado, pero se puede hacer como ejercicio. El término "dualidad Schur-Weyl" nunca se utiliza en el texto, y la "Prueba" real está dispersa en diferentes partes del libro, aunque no es muy difícil de detectar.

(3) Los apuntes del curso de Etingof "Introducción a la teoría de la representación", esto se parece más a una versión concisa de Goodman-Wallach.

En cierto modo, debería incluir en la lista el libro de Green "Polynomial Representation of GL_n", que es lo que mi asesor me recomendó leer, pero si sólo quieres la "dualidad Schur-Weyl" sin la aparición del álgebra de Schur, entonces no es recomendable, ya que se tardará bastante en llegar a la dualidad SW.

También vea esta pregunta de Math.SE: Comprender la prueba de la dualidad Schur-Weyl

Answer 2

Si te refieres a los lemas 6.22 y 6.23 de Fulton y Harris, estoy de acuerdo en que allí se saltan algunos pasos. Suponen que el lector tiene cierta familiaridad con los resultados de la teoría de módulos y las álgebras semisimples, etc.

Sin embargo, dicho esto, cualquier prueba de la dualidad Schur - Weyl que vayas a encontrar va a utilizar resultados de la teoría de módulos. Dos recursos alternativos para la Dualidad Schur - Weyl que me vienen a la mente:

1. Procesi's Grupos de Lie: Una aproximación a través de la teoría de invariantes - Para el teorema del doble centralizador, mira el capítulo 6 que trata de las álgebras semisimples. Para la dualidad Schur - Weyl, véase el capítulo 9 sobre la simetría tensorial.

2. Daniel Bump's Grupos de Lie - La parte sobre la dualidad Schur - Weyl se puede encontrar en la sección de temas del libro de Bump. Sin embargo, creo que las cosas se hacen a través del anillo de representación y no es el enfoque "habitual" de la dualidad clásica Schur - Weyl.

Sería mejor si pudieras decir exactamente en qué parte de los lemas 6.22 y 6.23 no entiendes para que pueda elaborar mi respuesta.

Aquí está mi opinión sobre la parte 2 de 6.22:

Primero suponemos que $U$ es irreducible por lo que $B = \Bbb{C}$ . En este caso, bastará con demostrar que $U \otimes_A W \cong Uc$ es unidimensional o cero. En primer lugar por Artin - Wedderburn obtenemos que $A$ es isomorfo a una suma directa de anillos matriciales $\bigoplus_{i=1}^r M_{n_i}(D_i)$ sobre algún anillo de división $D_i$ . Dado que no existen anillos de división de dimensión finita no triviales sobre $\Bbb{C}$ concluimos que $A = \bigoplus_{i=1}^r M_{n_i}(\Bbb{C})$ . Ahora bien, por suposición $W = Ac$ es una izquierda irreducible $A$ - y, por tanto, también es un ideal mínimo de la izquierda de $A$ . Identificaremos dicho ideal mínimo en una suma directa de anillos matriciales. Recordemos que un idempotente en un anillo $R$ se dice que es primitivo si no se puede descomponer como la suma directa de dos idempotentes ortogonales no nulos.

En un anillo semisimple como $A = \bigoplus_{i=1}^r M_{n_i}(\Bbb{C})$ los idempotentes primitivos son, por tanto, aquellos $r$ - tuplas de la forma $(0, \ldots, e,\ldots, 0)$ para $e$ un idempotente primitivo en $M_{n_i}(\Bbb{C})$ para algunos $i$ . Un idempotente primitivo en $M_{n_i}(\Bbb{C})$ es sólo un $n_i \times n_i$ matriz $E_{kk}$ para algunos $1 \leq k \leq n_i$ con todas las entradas a cero excepto la entrada $(k,k)$ . Por el teorema 3.1, capítulo 6 del libro de Procesi, todo ideal mínimo de la izquierda en $A$ es de la forma $M_{n_i}(\Bbb{C})E_{kk}$ con $E_{kk}$ una matriz de la forma descrita anteriormente. Tal ideal de izquierda es isomorfo a uno que consiste en tuplas con todas las entradas cero excepto la entrada $i$ . En esta entrada, todas las matrices tienen una sola columna no nula, la columna $k$ . Del mismo modo, $U$ puede identificarse con el ideal derecho de $r$ - tuplas que son cero excepto en el factor $j$ y en ese factor todos son cero excepto la fila $l$ decir. Ahora se deduce que $U \otimes_A W$ será cero a menos que $j = i$ , en cuyo caso $U \otimes_A W$ es isomorfo al conjunto de matrices que son todas cero excepto en la entrada $(l,k)$ . Por lo tanto, $\dim U \otimes_A W \leq 1$ y la prueba en este caso es completa. En el caso más general de (ii), descomponemos $U = \bigoplus_i U_i^{\oplus n_i}$ en una suma de derechos irreducibles $A$ - módulos, por lo que

$$U \otimes_A W \cong \bigoplus_i (U_i \otimes_A W)^{\oplus n_i} \cong (U_i \otimes_A W)^{n_k} \cong \Bbb{C}^{n_k}$$

para algunos $k$ . Esto es claramente irreducible sobre $B = \bigoplus_j M_{n_j} (\Bbb{C})$ .