Prueba de la convergencia de la secuencia definida por$x_1=3$ y$x_{n+1}=\frac{1}{4-x_n}$

Question

Considere la secuencia definida por $$x_1=3 \quad\text{and}\quad x_{n+1}=\dfrac{1}{4-x_n}$$

Puedo calcular el límite suponiendo que el límite existe y la solución de ecuación de segundo grado, pero primero quería dar a la existencia de límite.

Traté de mostrar la secuencia es decreciente y acotada abajo por 0.

He utilizado derivados de prueba como $$f^\prime(x)=\frac{1}{(4-x)^2}$$ pero esta forma no soy capaz de mostrar

También, traté de zapato $x_{n+1}-x_n<0$ pero de esa manera también estoy de no tener éxito.

Por favor, dime cómo abordar dicho problema

Answer 1

Puede ser abordado de una manera gráfica:

• Dibujar la gráfica de $y = \frac{1}{4-x}$ a escala, mientras que el marcado de los elementos esenciales.
• Asíntota en $x=4$; Valor en $x = 3$ es $1$.
• Comparando con el valor anterior de la secuencia requeriría la trama de $y=x$ sobre los mismos ejes.
• Marca la intersección como $x=2-\sqrt3$ mientras que $x=2+\sqrt3$ es cerca de $x=4$.

Si a través de, aviso que a partir de la secuencia de $x=3$ significa que el siguiente valor es $1$ de la hipérbola que está muy por debajo de la línea recta. Ahora para obtener el siguiente valor de poner $x=1$ y obtener el siguiente valor de la hipérbola, que es de nuevo a menos de $1$ como la línea recta que representa.

Si usted sigue el patrón, que tienden a llegar a la intersección $x=2-\sqrt3$ a medida que la brecha entre ambas curvas se reduce a cero, lo que le da el límite de la secuencia como $x=2-\sqrt3$ (el límite sólo, no es uno de los términos de la secuencia, ya que estos son todos los números racionales).

También, se puede decir que si $x_1 \in (2-\sqrt3,2+\sqrt3)$ a continuación, la secuencia sería la disminución y convergían en $x=2-\sqrt3$ y que todos los términos de $x \in (2-\sqrt3,2+\sqrt3)$.

Answer 2

Para mostrar que $x_n$ está disminuyendo, use la inducción para probar que $x_n> x_{n+1}$ . Para mostrar que $x_n$ está delimitado por cero, muestre una afirmación más fuerte de que $0<x_n<2+\sqrt{3}$ mediante el uso de la inducción.

Answer 3

Supongamos $p(y)=y^2-4y+1=0$ y deje $x_n=y+z_n$ luego $$y+z_{n+1}=\frac 1{4-y-z_n}$$ so that $$-yz_n+(4-y)z_{n+1}=y^2-4y+1=0$$ and $$z_{n+1}=\frac y{4-y}z_n$$

Así que si $0\lt y\lt 2$ el término de error $z_n$ tiene el mismo signo y está disminuyendo en magnitud en proporción constante de modo que tiende a cero. Es fácil probar que hay una raíz de la ecuación cuadrática en el rango requerido por señalar $p(0)=1, p(2)=-3$

---

Nota: las ecuaciones válidos para el resto de posible valor de $y$ demasiado, pero la desigualdad no se aplican entonces a demostrar que el término de error tiende a cero. También esto fue hecho sin computing $y$.

Answer 4

Querrá mostrar $x>f(x)$ para establecer que la secuencia está disminuyendo. Así que considera $g(x) = x - \dfrac{1}{4-x}.$

Dado que $g'(x) = 1-\dfrac{1}{(4-x)^2} =\dfrac{(x-5)(x-3)}{(4-x)^2},$ sugiere que su intuición sea verdadera si $x_n\leq 3$ para $n>1$ , lo que puede establecerse fácilmente por inducción.

Answer 5

Sugerencia: después de encontrar el límite $l$ de $l={1\over 4-l}$ para asegurarse de que la secuencia tiende a $l$ , defina $e_n=a_n-l$ y al sustituirlo en $a_{n+1}={1\over 4-a_n}$, concluya que $e_n \to 0$