Soluciones enteras para$x^2-y^3 = 23$.

Question

Como lo indica el título, me pregunto los enteros$x,y$ que satisfacen la ecuación$x^2-y^3 = 23$.

Answer 1

Este es un Mordell la ecuación (o curva) y a partir de esta tabla (ver E_+00023) no hay solución se conoce ni existe :

E_+00023: r = 0   t = 1   #III =  1
          E(Q) = {O}
          R =   1.0000000000
           0 integral points

(excepto el de Tate-Shafarevic grupo #III los parámetros que corresponden a la del ejemplo 2 en el principio del archivo decir, que no hay solución racional)

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PRUEBA: Sobre la imposibilidad de entero de soluciones de esto fue demostrado por Jonquières en 1878 y el (francés) documento está disponible en Numdam. A partir de III de la página 376 encontramos (adaptado a su caso específico $k=23$) :

La búsqueda de soluciones de $\quad y^3+23=x^2$.
Vamos a establecer $\ c:=3\ $ entonces $\ k=23=c^3-4\ $

Supongamos que un $y$ es la solución de $\ y^3+3^3-4=x^2\ $, en la parte izquierda será de tipo $8n-1$, mientras que la parte derecha será de tipo $8n+1$ (desde $x$ debe ser impar).

Podemos deducir que los $y$ debe ser impar y $x$ aún así, veamos la $x:=2t$ y reescribir la ecuación como $$y^3+c^3=4(t^2+1)$$

Esto puede ser factorizados como : $$(y+c)\underset{\text{odd}}{\underbrace{(y^2-cy+c^2)}}=4(t^2+1)$$

Since the second term must be odd ($o^2-s^2+s^2$) we deduce that the first one must be multiple of $4$. Since $\ c\equiv -1\bmod{4}\ $ we get $\ y=4n+1$.

The second factor $(y^2-3y+9)\equiv 1^2-(-1)1+1\equiv -1\bmod{4}\ $ i.e. it is of form $\ 4k-1$. But this factor should divide the $(t^2+1)$ factor at the right. I'll let you prove that this is not possible for a number of form $\ 4k-1$.