Esta pregunta es la última etapa de un ejercicio que he estado trabajando en el cual podemos caracterizar la intersección de todas máxima subgrupos como el subgrupo de todos los generadores. Ya he demostrado que si un grupo tiene un máximo de subgrupo, a continuación, la intersección de todos la máxima subgrupos son precisamente los no generadores. También, he demostrado que si cada elemento de un grupo es un no-generador, entonces el grupo no tiene la máxima subgrupos. Pero estoy teniendo dificultad con esta afirmación:
Si un grupo no tiene la máxima subgrupos, entonces todos los elementos que no son generadores.
Todas las pruebas a las que me he visto de esta caracterización supone que hay máxima subgrupos, así que ni siquiera estoy seguro de si la afirmación es verdadera. Cualquier ayuda es muy apreciada.
ANEXO
Por solicitud, aquí está mi prueba para los otros tres casos (ninguno de los cuales utilizan el lema de Zorn):
Deje $G$ ser un grupo. Vamos a denotar la intersección de todas máxima subgrupos de $G$ por $\Phi(G)$. Si $G$ no tiene máximo subgrupos, nos pusimos $\Phi(G)=G$. Vamos a denotar el subgrupo de todos los no generadores de $G$ por $N(G)$. Tomamos nota de que, si $G$ es trivial y, a continuación,$\Phi(G)=N(G)$. Así que podemos olvidarnos de ese caso.
Caso 1: $G$ tiene un subgrupo maximal.
Deje $g\in\Phi(G)$. Ahora vamos a $X\subseteq G$ satisfacer $\langle X, g\rangle=G$. Deje $M$ ser un subgrupo maximal de $G$. Entonces tenemos que $M\subseteq\langle X, g\rangle=G$. También, desde la $g\in\Phi(G)\subseteq M$, tenemos que $M\subseteq\langle X\rangle\subseteq G$. Por lo tanto $\langle X\rangle=M$ o $\langle X\rangle=G$ por maximality de $M$. Supongamos $\langle X\rangle=M$. Esto implicaría que $\langle X, g\rangle=M$ contradiciendo la suposición. Por lo tanto $\langle X\rangle=G$, e $g$ es un nongenerator. Por lo tanto $\Phi(G)\subseteq N(G)$.
Ahora vamos a $g\in N(G)$. Deje $M$ ser arbitraria máxima subgrupo de $G$. Supongamos $g$ no estaban en $M$. Entonces por maximality de $M$, $\langle M,g\rangle=G$. Sin embargo, desde la $g$ es un nongenerator, esto implica que $\langle M\rangle = M=G$. Contradicción. Por lo tanto $g\in M$. Desde $M$ fue arbitraria, $g\in\Phi(G)$.
Caso 2: $G$ no tiene ningún subgrupo maximal.
Tenemos que $\Phi(G)=G$. Así nos trivialmente tener ese $N(G)\subseteq\Phi(G)$.
Nos queda probar que $\Phi(G)=G\subseteq N(G)$ cual fue la razón detrás de la pregunta.
