¿Por qué la topología de Zariski?

Question

Por qué en geometría algebraica solemos considerar la topología de Zariski en $\mathbb A^n_k$ ? Al final parece una topología poco interesante, de hecho los conjuntos abiertos son muy grandes y no satisface el axioma de separación de Hausdorff. De acuerdo, la base es muy simple, pero ¿cuáles son las ventajas?

Answer 1

Para apreciar la topología de Zariski ayuda tener una visión bastante amplia de lo que es un espacio topológico. Los espacios topológicos en toda su generalidad son, confusamente, ¡poco topológicos en el sentido ingenuo! Como se explica en esta pregunta de math.SE Creo que es mejor pensar en la topología de conjuntos de puntos como si se tratara de propiedades semidecidibles (que son los conjuntos abiertos). El tipo familiar de topología inducida por una métrica se refiere a la propiedad específica de estar cerca en un sentido métrico, pero otros tipos de topologías se refieren a diferentes tipos de propiedades.

La topología de Zariski trata de la propiedad de no evanescencia de los polinomios. Las propiedades semidecidibles aquí son las propiedades "este conjunto de polinomios no desaparece aquí". Intuitivamente hablando la razón por la que esto es semidecidible es que se puede calcular el valor de un polinomio en un punto con una precisión finita y una vez que se demuestra que es suficientemente diferente de cero no puede ser cero.

El hecho de que la topología de Zariski no sea Hausdorff no es una propiedad extraña de la topología de Zariski; te dice algo importante sobre el comportamiento de la desaparición de polinomios, a saber, que el comportamiento de un polinomio en unos pocos puntos puede decirte mucho sobre su comportamiento en puntos aparentemente lejanos. Esto es intrínseco a la naturaleza de la geometría algebraica y pretender que la topología de Zariski no existe no hará que desaparezca.

Bien, ¿y qué se puede hacer realmente con él? Aquí hay un par de cosas:

• Si dos polinomios coinciden en un subconjunto denso de Zariski, entonces coinciden idénticamente. Esta es una forma sorprendentemente útil de demostrar las identidades de los polinomios; por ejemplo, se puede utilizar para demostrar el teorema de Cayley-Hamilton.
• El paso a la topología de Zariski en los esquemas permite el uso de puntos genéricos . Sin embargo, no conozco ejemplos de esta técnica en uso.
• Serre hizo famoso el uso de la topología de Zariski para introducir cohomología de la gavilla a la geometría algebraica, que fue (según tengo entendido) una innovación crucial.

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A realmente apreciar la topología de Zariski ayuda a generalizarla a anillos conmutativos arbitrarios. Un ejemplo motivador importante: si $X$ es un espacio Hausdorff compacto y $C(X)$ es el anillo de funciones continuas $X \to \mathbb{R}$ entonces el espectro máximo de $C(X)$ no sólo puede identificarse con $X$ pero tiene el misma topología ¡! (Esto es un ejercicio de Atiyah-MacDonald).

Los anillos que se obtienen de este modo son precisamente las subálgebras reales de complejos conmutativos Álgebras C* por el teorema conmutativo de Gelfand-Naimark y de hecho se obtiene una equivalencia (contravariante) de categorías. Además, por la Teorema de Serre-Swan la categoría de haces vectoriales reales sobre $X$ es naturalmente equivalente a la categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre $C(X)$ .

Ayuda pensar en este ejemplo como un físico. Piensa en $X$ como el conjunto de estados posibles de algún sistema físico y los elementos de $C(X)$ como observaciones que se pueden hacer sobre el sistema; el valor de una función en un punto es el resultado de la observación en un estado fijo. La topología de Zariski captura aquí todas las propiedades semidecidibles que se pueden decidir utilizando las observaciones en $C(X)$ . Por ejemplo, si una de las funciones de $C(X)$ se llama "temperatura", existe una propiedad semidecidible correspondiente "la temperatura del sistema está entre $0$ y $100$ grados inclusive", que se puede decidir calculando la temperatura con una precisión finita.

(¿Y si $X$ no es compacto? Entonces, si trabaja con el anillo $C_b(X)$ de funciones continuas acotadas en $X$ hay conjuntos consistentes de posibles valores de los observables que no surgen de un estado real de su sistema; son puntos en el Compactación de la piedra $\beta X$ en su lugar).

Este es otro ejemplo que me gusta: dejemos que $B$ ser un Anillo booleano que es un anillo que satisface $b^2 = b$ para todos $b \in B$ . Entonces cada elemento de $B$ puede identificarse con un subconjunto de su espectro máximo. Esta idea puede utilizarse para

• probar Teorema de representación de Stone para álgebras booleanas ,
• deducir la existencia de ultrafiltros de la existencia de ideales máximos en anillos, y
• probar la teorema de la compacidad en la lógica proposicional (¡sin demostrar el teorema de la completitud)!

Para un debate, véase la entrada de mi blog Anillos booleanos, ultrafiltros y teorema de representación de Stone .

Answer 2

Me gustaría mencionar una característica agradable de la topología de Zariski que, hasta donde yo sé, nunca se aborda en los libros de geometría algebraica (¿algún contraejemplo?)

La topología de Zariski nunca es Hausdorff en dimensión positiva, pero aparte de eso es normal ( $=T_4$ ) en el caso afín.
Esto significa que para una variedad afín (o un esquema afín) $X$ dados dos subconjuntos cerrados disjuntos $C,D\subset X$ existe una función regular $f\in \mathcal O(X)$ con $f(c)=1$ para todos $c\in C$ y $f(d)=0$ para todos $d\in D$ .
Y lo que es más sorprendente, se pueden tomar funciones regulares arbitrarias $g\in \mathcal O(C), h \in \mathcal O(D)$ e interpolarlos a un $f\in \mathcal O(X)$ tal que $f\mid C=g$ y $f\mid D=h$

Esto se debe a que en la geometría algebraica se definen primero las funciones, los polinomios (o uno de sus anillos cotizantes), y luego se deduce de ellos una topología.
En la topología clásica (como en el cálculo o el análisis) se define primero el espacio topológico (mediante una métrica, por ejemplo) y luego se investigan las funciones continuas sobre estos espacios.
Y así puede ocurrir (en contraste con la geometría algebraica) que no tengas suficientes funciones para separar subconjuntos cerrados disjuntos entre sí.

Editar
En la misma línea (de manera equivalente, en realidad) permítanme mencionar que las variedades algebraicas afines (o esquemas afines ) satisfacen la propiedad de Urysohn: toda función regular sobre el $C\subset X$ se extiende a una función regular sobre $X$ .
En el lenguaje de los esquemas es la trivialidad absoluta que, para $C=V(I)$ el morfismo $\mathcal O(X)=A \to \mathcal O(C)=A/I$ es sobreyectiva.
Y es una trivialidad porque está construida en los fundamentos de la geometría algebraica: la topología de Zariski se construye a partir de las funciones (y la genialidad de Grothendieck fue forzar cada elemento de cualquier anillo conmutativo para ser una función).

Answer 3

Me gustaría dar mi perspectiva personal que creo que es una versión más elemental de Zhen Lin's . Lo que he podido explicar por mí mismo es a) por qué es natural considerar la topología de Zariski cuando se habla de conjuntos que desaparecen, b) cómo la topología de Zariski sobre conjuntos de ideales primos de un anillo $R$ sugiere que los espacios localmente anillados son buenos objetos generales para consideraciones geométricas, c) por qué la topología de Zariski sobre el conjunto de todo ideales primos $\DeclareMathOperator{\Spec}{Spec}\Spec R$ nos da esquemas afines, y d) cuando está bien utilizar la topología de Zariski sólo en el conjunto de ideales máximos $\DeclareMathOperator{\maxSpec}{maxSpec}\maxSpec R$ (así que en particular por qué sobre un algebraicamente cerrado $\Bbbk$ podemos pensar en $\mathbb A^n_\Bbbk$ como $n$ -tuplas $(a_1,\dots,a_n)$ de elementos de $\Bbbk$ identificados con los ideales máximos $\left<x_1-a_1,\dots,x_n-a_n\right>$ de $\Bbbk[x_1,\dots, x_n]$ )

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Conjuntos de fuga y topología de Zariski

Imagina que tenemos un anillo $R$ y un conjunto (espacio) $X$ para que pensemos en $R$ como "funciones" en $X$ en el sentido de que para cada $x\in X$ hay un conjunto $R_x$ de "valores en X" tal que podemos pensar en $x$ como una función de evaluación (surjetiva) $x\colon R\to R_x$ dado por $f\to f(x)$ . Si intentamos axiomatizar las propiedades de la noción de " $f\in R$ se desvanece en $x\in X"$ llegamos a:

1. $f\in R$ y $g\in R$ tienen el mismo valor en $x$ si y sólo si $(f-g)(x)$ se desvanece en $x$ ;
2. Si $f$ se desvanece en $x$ entonces $(f\cdot g)(x)$ también desaparece.

Estos son suficientes para asegurar que cada $x\colon R\to R_x$ induce una estructura de anillo en $R_x$ tal que el conjunto de funciones $f$ desapareciendo en $x$ es precisamente el ideal $\ker x\subset R$ . Exigiendo esa unidad constante (es decir $1$ ) no desaparece en ninguna parte garantiza que los ideales son propios, es decir, ninguno de $R_x$ es el anillo trivial cero.

No es difícil demostrar que dado un conjunto de puntos en nuestro espacio $S\subset X$ el conjunto de funciones en $R$ desapareciendo en $S$ es un ideal $I(S)$ de $R$ y en particular que es la intersección de los ideales $\ker x$ asociados a los puntos $x\in S$ es decir $I(S)=\bigcap\{\ker x\colon x\in S\}$ . Del mismo modo, dado cualquier conjunto de funciones $J\subset R$ el conjunto de puntos de fuga $V(J)=\{x\in X\colon f(x)=0(x)\forall f\in J\}$ puede describirse como el conjunto de puntos $x$ cuyo ideal asociado $\ker x$ está contenida en $J$ es decir $V(J)=\{x\in X\colon \ker x\subset J\}$ .

Dado que la idea de la geometría algebraica es establecer los objetos geométricos como loci cero de las funciones, es decir, como conjuntos de fuga, nos importan las siguientes propiedades del operador, fáciles de comprobar $V$ :

1. $V(I)=V(\left<I\right>)$ Así que, a partir de ahora, sólo consideraremos los ideales de $R$ como nuestros conjuntos de funciones $I$ , $J$ etc.
2. $V(0)=X$
3. $I\subset J$ implica $V(J)\subset V(I)$
4. $V(\sum_\lambda I_\lambda)=\bigcap_\lambda I_\lambda$
5. $V(I)\cup V(J)\subset V(I\cap J)$

La última afirmación NO es una igualdad en general. En efecto, si $\ker x$ no es un prime ideal, entonces dejar que $fg\in\ker x$ pero $f,g\not\in\ker x$ , obtenemos que $x\not\in V(f)\cup V(g)$ pero $x\in V((f)\cap (g))$ . Esto es malo, ya que significa que los conjuntos que desaparecen en este contexto general no son necesariamente cerrados bajo uniones finitas, lo que hace extremadamente difícil descomponerlos de forma efectiva en trozos más pequeños. Prácticamente la única manera de obtener una condición fácilmente verificable del cierre bajo uniones finitas es exigir que todos los ideales asociados $\ker x$ son primos (por lo que $R_x$ son dominios integrales), en cuyo caso los conjuntos de fuga $V(I)$ satisfacen los axiomas para los conjuntos cerrados de una topología, que llamo topología de Zariski inducida por $R$ en $X$ .

Tenga en cuenta que $X$ puede considerarse como un conjunto de ideales primos de $R$ .

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Conjuntos que desaparecen y espacios localmente anillados

Queremos hacer más: queremos estudiar la gavilla de conjuntos de fuga en $X$ . Por supuesto, esto no tiene sentido tal y como lo he planteado ya que las gavillas se definen en relación a una topología (aproximadamente si algo es un fenómeno local, entonces es una gavilla), y no hemos especificado una topología en $X$ . Obsérvese, sin embargo, que ser un conjunto cerrado en una topología es una propiedad local en esa topología, en el sentido de que si $S$ es localmente cerrado con respecto a cada $U\subset X$ entonces $S$ está cerrado en $X$ . Se deduce que bajo la topología de Zariski en $X$ inducido por $R$ Los conjuntos de fuga son una gavilla.

Pero si los conjuntos evanescentes son una gavilla, y cada conjunto evanescente está dado por una ''función'' en $R$ en $X$ Será mejor que hagamos ''funciones'' en $X$ en una gavilla también. Hay esencialmente una manera razonable de hacer esto, que es restringir apropiadamente las funciones en $R$ para abrir subconjuntos $U$ .

Primero, una simplificación. Dado que todo conjunto de fuga se genera como la intersección de hipersuperficies (conjuntos de fuga de "funciones" simples, ya que $I=\sum_\alpha (f_\alpha)$ tenemos que $V(I)=\bigcap_{\alpha}V(f_\alpha))$ es completamente inútil tener ''funciones'' $f\in R$ que no desaparecen en ningún punto $x$ : proporcionan ideales adicionales que no dicen nada sobre los puntos del espacio. Está claro que debemos exigir que cualquier $f$ que no desaparece en ninguna parte debe ser una unidad de $R$ y para ello podemos sustituir $R$ con su localización $S^{-1}R$ en el sistema multiplicativo $S=\{f\in R\colon f(x)\neq0\forall x\in X\}$ (el sistema es multiplicativo ya que el $R_x$ son dominios integrales). Esto deja los conjuntos de fuga exactamente igual, mientras que nos da un anillo ligeramente más simple para codificarlos (cuanto menos ideales, mejor).

Dicho esto, supongamos que tenemos un conjunto abierto $U\subset X$ . Cualquier anillo $R_U$ asociamos a $U$ queremos que sus conjuntos de fuga sean conjuntos cerrados de $U$ . También deberíamos tener un mapa de restricciones $\DeclareMathOperator{\res}{res}\res_{X,U}\colon R\to R_U$ para decirnos cómo restringir las ''funciones'' en $X$ a ''funciones'' en $U$ . Este mapa debería ser un homomorfismo de anillo si tenemos algún sentido de la decencia (además su inverso tiene que mapear el ideal de $R_U$ desapareciendo en $S\subset U$ al ideal de $R$ desapareciendo en $S\subset X$ ). Además, dada la convención anterior, si $f\in R$ no desaparece en ningún punto de $U$ Entonces debería enviarse a una unidad. Por lo tanto, $R_U$ admitirá necesariamente un homomorfismo de la localización $S^{-1}R$ donde $S=\{f\in R\colon f(x)\neq0(x)\forall x\in U\}$ . Por lo tanto, podemos definir lo que yo llamo la ''presheaf de estructura'' $\mathscr F_X$ por $\mathscr F_X(U)=S^{-1}R$ para $S=\{f\in R\colon f(x)\neq0\forall x\in U\}$ y el ajuste $\res_{U,V}$ el mapa de restricción de las funciones sobre $U$ a las funciones en $V$ para ser la localización de $R_U$ en $S=\{f\in R_U\colon f(x)\neq0\forall x\in V\}$ .

Una propiedad clave de esta preforma es que sus tallos son anillos locales y que codifican la desaparición. En particular, dado que $f$ desaparece en un punto $x$ si y sólo si $f\in\ker x$ entonces no es difícil ver que el tallo $\mathscr F_{X,x}$ en $x$ es la localización de $R=\mathscr F(X)$ en el ideal primario $\ker x$ y, por tanto, que $f$ desaparece en un punto $x$ si y sólo si $x$ es una no unidad en el tallo $\mathscr F_{X,x}$ . Por lo tanto, la desafectación $\mathscr O_X$ de $\mathscr F_X$ es precisamente lo que yo llamo la ''gavilla estructural'' de $X$ (recuerda que $X$ es un subconjunto de ideales primos, no todos los ideales primos, que es el contexto habitual de la gavilla estructural). Esta gavilla es bastante elusiva, pero tiene la propiedad de que $(X,\mathscr O_X)$ es un espacio localmente anillado (los tallos son anillos locales), y que los conjuntos evanescentes pueden extraerse de los tallos $\mathscr O_{X,x}$ diciendo que $f\in\mathscr O_X(U)$ desaparece en un punto $x$ si $f$ se localiza en una no unidad en $\mathscr O_{X,x}$ . De ahí que el estudio de los conjuntos evanescentes se convierta en un caso especial del estudio de los espacios localmente anillados.

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Esquemas afines: los espacios anillados locales más básicos

¿Por qué la gavilla de la estructura $\mathscr O_X$ escurridizo (el de arriba para $X$ un conjunto con un anillo $R$ de ''funciones'' en él)? Porque $\mathscr O_X(U)$ no es necesariamente $\mathscr F_X(U)$ la localización de $R$ en el conjunto de funciones que no desaparecen en ninguna parte en $U$ . De hecho, el anillo superior $\mathscr O_X(X)$ no es necesariamente $R=\mathscr F_X(X)$ lo que significa que es realmente difícil de calcular $\mathscr O_X$ . En particular, el camino hacia los esquemas afines comienza con el intento de calcular $\mathscr O_X$ .

Una fácil descripción explícita de $\mathscr O_X$ viene de notar que si fijamos para cualquier $f\in R$ $X_f=X\setminus V_f$ entonces el $X_f$ son una base de conjuntos abiertos para $X$ en la topología de Zariski ya que $X_{fg}\subset X_f\cap X_g$ y $\bigcup_\alpha X_{f_\alpha}=X\setminus V(\sum(f_\alpha))$ .

Sabemos que $\mathscr F_X(X_f)=R_f$ donde $R_f$ es la localización de $R$ en $R_f=S^{-1}R$ para $S=\{g\in R\colon g(x)\neq0\forall x\in V(f)\}$ o, por el contrario, en $S=\{f,f^2,\dots\}$ . Por lo tanto, la gavilla de estructura $\mathscr O_X$ está totalmente determinado por el $R_f$ según la norma $\mathscr O_X(U)=\varprojlim_{X_f\subset U}R_f$ . Esto sigue siendo realmente difícil de calcular a menos que ocurra un cierto milagro, que es el siguiente: si $V(f)\subset V(J)$ implica $J\subset\DeclareMathOperator{\rad}{rad} f$ entonces el $X_f$ satisfacer lo que Eisenbud y Harris llaman la $\mathscr B$ -que implican que $\mathscr O_X(X_f)=\mathscr F_X(X_f)=R_f$ .

¿Por qué no $V(f)\subset V(J)$ siempre implican $J\subset\rad J$ ¿Siempre? Bueno, ciertamente tenemos $I(V(J))\subset I(V(f))$ y $J\subset I(V(J))=\bigcap\{\ker x\colon J\subset\ker x\}$ pero $I(V(f))=\bigcap\{\ker x\colon f\subset\ker x\}$ que podría ser estrictamente mayor que $\rad f=\bigcap\{\mathfrak p\subset R\colon f\in\mathfrak p\}$ ya que no todos los ideales primos de $R$ son necesariamente $\ker x$ para algunos $x\in X$ . Exigiendo que todo ideal primo $\mathfrak p\in\Spec R$ corresponden a un $x\in X$ y eliminando los duplicados innecesarios (dos puntos $x$ y $y$ no son distinguibles por conjuntos evanescentes si $\ker x=\ker y$ ), obtenemos que $X=\Spec R$ es una simple condición suficiente para la gavilla estructural $\mathscr O_X$ sea mayoritariamente computable (sabríamos que $\mathscr O_X(X_f)=R_f$ ).

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\maxSpec

Hasta ahora he explicado (en la medida de mis posibilidades) por qué la topología de Zariski en $\Spec R$ es natural, lo que no responde a la pregunta planteada si pensamos (como se suele hacer) en $\mathbb A^n_\Bbbk$ como el conjunto de ideales máximos de $\maxSpec\Bbbk[x_1,\dots,x_n]$ en lugar del conjunto de ideales primos $\Spec \Bbbk[x_1,\dots,x_n]$ que se hace con bastante frecuencia. La razón para hacer esto es la Propiedad de Jacobson de anillos, que tiene un anillo si todo ideal primo es la intersección de los ideales maximales que lo contienen. De lo anterior debería quedar claro que para tales anillos $R$ también tenemos que $V(f)\subset V(J)$ implica $J\subset\rad f$ ya que ciertamente la intersección de los ideales primos que contienen $f$ es igual a la intersección de los ideales máximos que contienen $f$ siempre que $R$ es Jacobson. Por lo tanto, la gavilla de estructura para $X=\maxSpec(R)$ satisface $\mathscr O_X(X_f)=R_f$ cuando $R$ es Jacobson.

Entonces, ¿cuándo es $R$ ¿Jacobson? Pues bien, como puede leerse en el libro de Eisenbud Álgebra conmutativa con vistas a la geometría algebraica, los campos son ciertamente de Jacobson, $\mathbb Z$ es Jacobson, y la versión más general del Nullstellensatz: si $R$ es un anillo de Jacobson, entonces también lo es $R[x]$ . Así que en particular, $\Bbbk[x_1,\dots,x_n]$ es Jacobson, por lo que podemos hacer geometría algebraica en $\mathbb A^n_\Bbbk$ utilizando $\maxSpec$ en lugar de $\Spec$ (de modo que para $\Bbbk$ cerrado algebraicamente, por ejemplo, podemos identificar $\mathbb A^n_\Bbbk$ con $n$ -partidas de puntos en $\Bbbk$ ).

Answer 4

Vamos a preguntarte esto - ¿puedes sugerir otra topología razonable? aquí, sólo exigimos que $\{0\}$ será un conjunto cerrado y que los polinomios son continuos. Estas dos condiciones son ciertamente razonables de exigir. ¿Tienes alguna otra idea para una topología que puedas definir sin ninguna referencia a un campo específico?

Answer 5

He aquí una razón un tanto sofisticada para utilizar la topología de Zariski, pero quizá resulte más convincente para alguien con inclinaciones algebraicas o lógicas.

Supongamos que estamos de acuerdo en que la localización en los ideales primos es algo bueno cuando se estudian los anillos conmutativos -esto no debería ser demasiado controvertido, dadas las buenas propiedades que tienen los anillos locales y la localización-. Por desgracia, no todos los anillos conmutativos son locales. Sin embargo, mediante un "cambio de base" adecuado, todo anillo conmutativo "se convierte" en un anillo local.

Para ser precisos, dejemos que $R$ sea un anillo conmutativo, y sea $\mathcal{R}$ sea la categoría de los representados finitos $R$ -algebras. La topología de Zariski (en el sentido de una topología de Grothendieck) sobre $\mathcal{R}^\textrm{op}$ tiene la siguiente propiedad universal: existe una equivalencia de categorías entre la categoría de todo local $R$ -y la categoría de todos los funtores exactos de Zariski-continuos a la izquierda $\mathcal{R}^\textrm{op} \to \textbf{Set}$ donde dicho functor $F : \mathcal{R}^\textrm{op} \to \textbf{Set}$ corresponde al anillo local $F(R)$ y un anillo local $A$ corresponde al functor $\textbf{Alg}_R(-, A)$ . Algo similar ocurre cuando sustituimos $\textbf{Set}$ con cualquier otro topos localmente pequeño y cocompleto, por lo que decimos que el clasificación de los topos para los locales $R$ -es el topos de Grothendieck $\textbf{Sh}(\mathcal{R}^\textrm{op}, \textrm{Zar})$ .

Ahora, por un argumento al estilo de Yoneda, hay un local "universal" $R$ -álgebra en $\textbf{Sh}(\mathcal{R}^\textrm{op}, \textrm{Zar})$ , es decir, el functor $\mathscr{O} = \textbf{Alg}_R(R, -)$ : de manera informal, podríamos decir que el anillo $R$ "se convierte en un local $R$ -álgebra en $\textbf{Sh}(\mathcal{R}^\textrm{op}, \textrm{Zar})$ ¡! ¿Pero qué tiene que ver esto con los planes? Bueno, según la escuela de Grothendieck, deberíamos pensar en un topos de Grothendieck como "representante" de un espacio de algún tipo; pero por la propia propiedad universal de $\textbf{Sh}(\mathcal{R}^\textrm{op}, \textrm{Zar})$ como topos clasificatorios, hay tantos puntos de $\textbf{Sh}(\mathcal{R}^\textrm{op}, \textrm{Zar})$ ya que hay locales $R$ -algebras - es decir, ¡una clase propia!

Sin embargo, por un milagro que aún no comprendo del todo, el esquema $\operatorname{Spec} R$ se puede extraer como sigue: tomamos la subcategoría completa $\mathcal{B}$ de $\mathcal{R}^\textrm{op}$ que abarcan las principales localizaciones de $R$ (es decir, los anillos de la forma $R [1/f]$ ), y tomar la topología inducida en $\mathcal{B}$ para formar el topos de Grothendieck $\textbf{Sh}(\mathcal{B}, \textrm{Zar})$ . Existe entonces un morfismo geométrico esencial $$i_! \dashv i^* \dashv i_* : \textbf{Sh}(\mathcal{B}, \textrm{Zar}) \to \textbf{Sh}(\mathcal{R}^\textrm{op}, \textrm{Zar})$$ inducido por la inclusión $\mathcal{B} \hookrightarrow \mathcal{R}^\textrm{op}$ y por la propiedad universal de $\textbf{Sh}(\mathcal{R}^\textrm{op}, \textrm{Zar})$ la imagen inversa $i^* \mathscr{O}$ del local universal $R$ -Álgebra $\mathscr{O}$ es un local $R$ -álgebra en $\textbf{Sh}(\mathcal{B}, \textrm{Zar})$ . Porque $\mathcal{B}$ es una categoría de preorden, $\textbf{Sh}(\mathcal{B}, \textrm{Zar})$ es un topos local, y se puede demostrar que es equivalente al topos $\textbf{Sh}(\operatorname{Spec} R)$ y bajo esta equivalencia, $i^* \mathscr{O}$ se identifica con la gavilla estructural de $\operatorname{Spec} R$ .

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Se puede utilizar un argumento similar para justificar la definición de la topología étale: en la topología étale para $\operatorname{Spec} R$ , $R$ "se convierte en un anillo local estrictamente henseliano. Esto lo explica Wraith en su artículo de 1979, Teoría de Galois genérica de anillos locales .