Diferenciales de Kahler en una curva plana proyectiva suave

Question

Deje que$C = \{f=0\} \subset \mathbb{P}_k^2$ sea una curva plana lisa de grado$d$.

Estoy tratando de encontrar una base explícita para$H^0(C,\Omega^1_{C/k})$. Sé que debería ser$\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ - dimensional. Lo que estoy tratando de encontrar es una colección explícita de formularios 1 racionales en$C$ (básicamente elementos en$k(C) \large{\frac{dx}{\partial_y f}}$) que cuando se restringe a$C$ da una base para todos los formularios 1. Lamentablemente, la mayor parte de lo que intenté no me llevó a ningún lado, por lo que no tengo intentos interesantes de compartir. La ayuda sería realmente apreciada.

Answer 1

Para encontrar la base explícitamente usted puede utilizar el residuo de Poincaré mapa $$ \text{res}: H^0(\mathbb{P}^2, \Omega^2_{\mathbb{P}^2}(C)) \H^0(C, \Omega^1_C), $$ que en este caso es un isomorfismo.

Deje $g(x_1, x_2) = f(1,x_1,x_2)$, 2-formulario de $\omega$ a $\mathbb{P}^2$ con un solo polo a lo largo de $C$ puede ser escrito de forma local en coordenadas $x_1$, $x_2$ como $$ \omega t = (x_1, t_2) \frac{dx_1 \wedge dx_2}{g(x_1,x_2)}, $$ a continuación, el residuo de $\omega$ es $$ \text{res}(\omega) t = (x_1, x_2) \frac{dx_2}{g_{x_1}(x_1,x_2)}. $$

La sección $dx_1 \wedge dx_2$ tiene un polo de orden 3 en el hyperplane $H$ al infinito ($K_{\mathbb{P}^2} = -3H$), y $f$ tiene un polo de orden $d$ a lo largo de $H$, lo $\omega$ es holomorphic al $t$ es una función racional con un posible polo de orden $\leq d-3$ a lo largo de $H$, estas funciones son polinomios en $x_1$ y $x_2$ orden $\leq d-3$. Hay $l+1$ monomials de grado $l$ en dos variables, por lo que hay $\sum_{l=0}^{d-3} (l+1)=\frac{(d-1)(d-2)}{2}$ monomials de grado $\leq d-3$. La explícita base de $H^0(C, \Omega^1_C)$ está dado por los residuos de $\omega$'s con todos los monomials de dichos grados.