La invención de los números fue uno de los mayores avances en la historia de las matemáticas. Marcó la conclusión de que este saco de piedritas
$$\{ \blacktriangle\;\blacktriangle\;\blacktriangle\;\blacktriangle\;\blacktriangle \}$$
esta cadena de nudos
$$-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-\bullet-$$
y este hueso lleno de marcas de conteo
$$/\,/\,/\,/\,/$$
son todas las encarnaciones de una sola cosa, el resumen de la cantidad de cinco. Ese salto de abstracción se ha vuelto tan común para nosotros que casi se siente extraño a hacer operaciones aritméticas contando cosas. En algunos casos, sin embargo, puede ser esclarecedor para volver a los fundamentos-de vuelta a los días en que no teníamos los números, y nos hizo a todos nuestros aritmética contando cosas. Su pregunta es uno de esos casos.
En lo que sigue, voy a utilizar una letra mayúscula como $X$ a presentarse para un conjunto finito de cosas, como un rebaño de cabras o un montón de perlas, y voy a utilizar el símbolo $|X|$ a pie por el número de cosas en el conjunto.
La exponenciación es una difícil operación, como claramente has dado cuenta, así que vamos a calentar con algo más simple. Si usted tiene dos montones de perlas, $A$ e $B$, la cosa más simple que se puede hacer con ellos es empujar juntos para hacer una pila más grande, que a veces se escribe"$A \sqcup B$. Usted debe ser fácilmente capaz de convencerse de que, en el nivel de números, $|A \sqcup B| = |A| + |B|$. En otras palabras, la concreta operación de empujar dos pilas junto corresponde al resumen de la operación de suma de dos números. Suma de números enteros se define a menudo de esta manera.
Aquí es un poco más difícil de calentar. Si usted tiene un montón de camisetas, $H$, y un montón de faldas, $K$, usted podría preguntarse cómo muchos trajes diferentes que usted puede hacer por el emparejamiento de una camisa con una falda. El conjunto de prendas generalmente se escriben $H \times K$. Usted debe ser capaz de convencer a ti mismo que $|H \times K| = |H| \cdot |K|$. En otras palabras, la concreta operación de conteo de pares se corresponde con el resumen de la operación de multiplicación. Multiplicación de números enteros se define a menudo de esta manera.
Ahora que estamos calentado, suponga que tiene un conjunto de pinturas, $C$, y una bolsa de perlas, $X$. Usted podría preguntarse cuántas maneras diferentes hay de color de cada cuenta con una de las pinturas. El conjunto de formas de color de las perlas es generalmente escrito $C^X$. Si usted trata de un par de ejemplos, verás que $|C^X| = |C|^{|X|}$. La exponenciación de números enteros se define a menudo de esta manera.
Finalmente, podemos llegar a su pregunta. Supongamos que usted tiene un montón de pinturas, pero la bolsa de perlas está vacía. Es posible que la pintura de todas las cuentas? Seguro: usted simplemente no hacer nada! De hecho, no hacer nada es la única manera de pintar todas las bolas en la bolsa, ya que no hay perlas. Así, cuando el conjunto de $C$ tiene un montón de pinturas, pero la bolsa de $X$ está vacía, $|C^X| = 1$. Si se define la exponenciación contando los colorantes, que significa $|C|^0 = 1$ para cualquier número positivo $|C|$.
Para empeorar las cosas, supongamos que usted no tiene ninguna pinta y sin bolas. Afortunadamente, usted todavía puede pintar todas las cuentas: una vez más, usted simplemente no hacer nada. Como antes, no hacer nada es la única manera de pintar todas las cuentas, por lo $|C^X| = 1$, incluso cuando ambos $C$ e $X$ están vacías. Si se define la exponenciación contando los colorantes, que significa $0^0 = 1$.
Por otro lado, supongamos que usted no tiene ninguna pinta, pero tiene algunas perlas. En este caso, usted no puede pintar todas las cuentas, porque usted no tiene ninguna pinta! Hay simplemente no hay maneras de pintar todo lo que cuentas. En otras palabras, cuando se $C$ está vacía, pero $X$ no es, $|C^X| = 0$. Si se define la exponenciación contando los colorantes, que significa $0^{|X|} = 0$ para cualquier número positivo $|X|$, como sería de esperar.
He aquí una bonificación. André Nicolas argumentó que $0^0$ debe $1$ con el fin de hacer que el teorema del binomio verdad. Incluso aquellos que rara números de $\binom{n}{k}$ puede ser definida usando finito de conjuntos: si usted ha $N$ juguetes y $K$ niños, $\binom{N}{K}$ es el conjunto de maneras que usted puede recoger suficientes juguetes para tener uno para cada niño. (Tenga en cuenta que usted no dé a cada juguete a un particular niño: usted sólo desea que el número de niños y juguetes a ser la misma). Si usted salga de su conjunto de pinturas $C$ y otro conjunto de pinturas $D$ y comenzar a pintar varios números de niños y la entrega de juguetes basados en el número de colores de niños que hay, que de alguna manera debe ser capaz de convencer a ti mismo que el teorema del binomio es verdad, incluso cuando $C$ no tiene ningún tipo de pinturas en ella. Es por eso que André Nicolás se acercó con las mismas reglas de cero exponenciales como acabamos de hacer.
