Si$f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ es tal que$\alpha \|x-y\| \leq \|f(x)-f(y)\|$ entonces$f(\mathbb R^n)$ está cerrado.

Question

Deje que$f : \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ a$\mathcal{C}^1$ funcione de tal manera que exista$\alpha > 0$:$$ \alpha \|x-y\| \leq \|f(x)-f(y)\|, \forall x,y \in \mathbb{R}^n$ $ 1) Muestre que$f(\mathbb{R}^n)$ es un conjunto cerrado.

No sé cómo abordar este ejercicio. Intenté tomar una secuencia de Cauchy$(y_n) = f(x_n)$, luego como$\mathbb R^n$ es un espacio de Banach, tengo inmediatamente que converge$(x_n)$, por lo tanto$f(x_n)$ converge en$f(\mathbb{R}^n)$, así queda cerrado. Pero no sé cómo mostrar esto con rigor, y no estoy seguro de si mi idea es correcta.

Answer 1

Deje que$f(x_n)$ sea una secuencia de Cauchy de$f(\mathbb{R}^n)$, por cada$c>0$ existe$N$ de manera tal que para$n,m>N$ implica que$|f(x_n)-f(x_m)|<c$ esto implica que$\|x_n-x_m\|<{1\over\alpha}|f(x_n)-f(x_m)|<{c\over\alpha}$ deducimos que$x_n$ es una secuencia de Cauchy, por lo que converge hacia$x$, ya que$f$ es continuo,$f(x)=\lim_nf(x_n)$ y el límite de la secuencia de Cauchy$f(x_n)\in f(\mathbb{R}^n)$ , deducimos que$f(\mathbb{R}^n)$ está cerrado.