Necesito ayuda para avanzar en la resolución de ese límite: $ \lim_ {n \to \infty }{ \sqrt [n]{ \frac {n!}{n^n}}} $

Question

cómo puedo continuar con esta resolución límite?

El límite es:

$$ \lim_ {n \to \infty }{ \sqrt [n]{ \frac {n!}{n^n}}} $$

Esto es lo que he hecho:

Aplico esta prueba: $ \lim_ {n \to \infty }{ \sqrt [n]{a_n}} = \frac {a_{n+1}}{a_n} $

Operando y simplificando llego a este punto: $$ \lim_ {n \to \infty }{ \frac {n^n}{(n+1)^n}} $$

¿He hecho algo malo? ¡Gracias!

Answer 1

Como referencia, otro enfoque que empieza de cero:

Usando el hecho de que $ \ln n! = n \ln n - n +o(n)$ (véase, por ejemplo esta prueba de ella), podemos reescribir las cantidades consideradas en la forma exponencial (casi siempre útil) para obtener que $$ \sqrt [n]{ \frac {n!}{n^n}} = e^{ \frac {1}{n} \ln \frac {n!}{n^n}} = e^{ \frac {1}{n} \left ( \sum_ {k=1}^n \ln k - n \ln n \right )} = e^{ \frac {1}{n} \left (n \ln n - n +o(n) - n \ln n \right )} = e^{ \frac {1}{n} \left (- n +o(n) \right )} = e^{-1 +o(1)} $$ así que el límite es $e^{-1}$ .

Answer 2

$$ \frac {n^n}{(n+1)^n} = \left ( \frac {n}{n+1} \right )^n = \left ( \frac {1}{ \frac {n+1}{n}} \right )^n = \frac {1}{(1+1/n)^n} \to1 /e$$ como $n \to\infty $ .

Answer 3

Deje que $A= \lim_ {n \to\infty } \sqrt [n]{ \dfrac {n!}{n^n}}$

$ \ln A= \lim_ {n \to\infty } \dfrac1n\sum_ {r=1}^n \ln\dfrac rn$

Como El límite de una suma $ \sum_ {k=1}^n \frac {n}{n^2+k^2}$ esto equivale a $$ \int_0 ^1 \ln x\ dx$$

Answer 4

Pista Obsérvese que $$ \frac {n}{n+1} = \frac {n + 1 - 1}{n + 1} = 1 - \frac1 {n + 1}$$

Ahora reescribe el argumento del límite como $ \exp ( \ln \cdot )$ ...

Answer 5

SUGERENCIA $$ \lim_ {n \to\infty } \left ( \frac {n}{n+1} \right )^n= \lim_ {n \to\infty } \frac {1}{ \left (1+ \frac {1}{n} \right )^n}$$