Es $\max\limits_{x \in [0,1]} |x-c| x(1-x)$ mínimo si y sólo si $c=0.5$

Question

¿Es cierta la siguiente afirmación? $$\max_{x \in [0,1]} |x-c| x(1-x) \text{ is minimal } \Leftrightarrow \max_{x \in [0,1]} |x-c|\text{ is minimal } \Leftrightarrow c=0.5$$

Esta cuestión se plantea en algunos cálculos relacionados con un problema de optimización. Lo he reducido a lo que es relevante. La segunda equivalencia está clara, pero no estoy seguro de la primera.

Answer 1

Tenemos que estudiar la función $$f_c(x):=(x-c)x(1-x)$$ en el $x$ -intervalo $[0,1]$ . Su gráfica es una parábola cúbica con tres ceros reales $c$ , $0$ , $1$ y el coeficiente más alto $<0$ . De ello se desprende que $f$ tiene un mínimo local y a su derecha un máximo local. Debido a la simetría podemos suponer $c\leq{1\over2}$ .

Si $c<0$ el mínimo local de $f_c$ está entre $c$ y $0$ y el máximo local en $g(c)\in\ ]0,1[\ $ , por lo que $g(c)$ es el cero a la derecha de $f_c'$ Por lo tanto $$g(c)={1\over3}\bigl(1+c+\sqrt{1-c+c^2}\bigr)\ .$$ El valor $f\bigl(g(c)\bigr)$ es entonces también el máximo de $|f_c|$ en $[0,1]$ .

Si $0<c\leq{1\over2}$ el mínimo local de $f_c$ está entre $0$ y $c$ y el máximo local de $f_c$ está entre $c$ y $1$ , por lo que la protuberancia ascendente de $f_c$ es mayor que el bache de bajada, ya que $c\leq{1\over2}$ . Se deduce que de nuevo el máximo de $|f_c|$ en $[0,1]$ está en $g(c)$ .

Queda por estudiar la función $$\psi(c):=f_c\bigl(g(c)\bigr)\qquad\left(-\infty<c\leq{1\over2}\right)\ .$$ Lamentablemente, no existe una expresión sencilla para $\psi$ resultados. Pero podemos demostrar que $\psi$ es decreciente, por lo que es mínima en $c={1\over2}$ .

Prueba. Escriba $$F(x,c):=f_c(x)=(x-c)x(1-x)\ .$$ Entonces $\psi(c)=F\bigl(g(c),c\bigr)$ y por lo tanto $$\eqalign{\psi'(c)&=F_{.1}\bigl(g(c),c\bigr)g'(c)+F_{.2}\bigl(g(c),c\bigr)\cr &=0+\bigl(-x(1-x)\bigr)_{x=g(c)}\cr &=-g(c)\bigl(1-g(c)\bigr)<0\ .\qquad\square\cr}$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $$\hat{c}= \text{arg minimal}_c\{ \max_{x\in [0,1]} |x-c|x(1-x) \} \leq \text{arg minimal}_c\{ \max_{x\in [0,1]} [\frac{|x-c|+x+1-x}{3}]^3 \}(\text{Using AM-GM inequality)} = \text{arg minimal}_c\{ \max_{x\in [0,1]} [\frac{|x-c|+1}{3}]^3 \}\Leftrightarrow \text{arg minimal}_c\{ \max_{x\in [0,1]} |x-c| \} (\text{since} [|x-c|+1]^3 \text{is symmetric about $ c $} )=0.5 $$

Creo que esto es lo que querías.