Encontrar un mapa conforme desde la unidad de disco hasta la mitad del plano.

Question

Estoy tratando de encontrar un mapa conforme$f$ desde el disco de la unidad abierta al conjunto$\mathbb{C}-[-1/4,-\infty)$ (creo que esto significa el semiplano Re$(w)>-1/4$ con las propiedades$f(0)=0$ y$f'(0)>0$. Sé que el mapeo$$f(z)=\frac{i+z}{i-z}$ $ devuelve el Re plano medio derecho Re$(w)>0$ del disco de la unidad abierta, pero restar 1/4 de él no satisface$f(0)=0$. Parece que no puedo encontrar muchos otros ejemplos. ¿Hay otros mapas conformes que deba probar?

Answer 1

He aquí un esquema; les dejo los detalles:

El mapa tiene enviará a la unidad de disco a la mitad del plano. Para llegar desde la mitad de un plano a todos los de $\mathbb{C}$ menos que un rayo, postcompose con $z\mapsto z^2$. Ahora, para obtener la falta de rayos donde usted lo quiere, rotación y traslación.

Por último, busque en la pre-imagen de $0$. Usted puede precomponer con un automorphism del disco envío de $0$ a ese punto. Entonces todo lo que queda es comprobar que, al redactar todos estos mapas, la derivada es un número positivo.

Answer 2

Empezar con

PS

Luego gire -90 grados para obtener el semiplano correcto. Entonces$$L_1(z)=\frac{i}{2} \frac{z+1}{1-z}$ etc ....