Ejercicio de integración # 1

Question

Sea$f:\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ una función continua tal que$f(x)\geq 0$ para todos$x$ y \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}f(x) = 1 \end {align *} Para$r\geq 0$, let \begin{align*} I_{n}(r) = \int\cdots\int_{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots+x_{n}^{2}\leq r^{2}}f(x_{1})f(x_{2})\cdots f(x_{n})\,dx_{1}\,dx_{2}\cdots\,dx_{n} \end {align * } Encuentra$\lim_{n\to\infty} I_{n}(r)$ para un$r$ fijo.

Answer 1

Responderemos el caso cuando$f(x)>0$, es decir,$f(x)$ es estrictamente positivo.

Tenga en cuenta que la región$$x_1^2+ x_2^2 + \cdots +x_n^2 \leq r^2$ $ es un subconjunto de la región$$\vert x_i \vert \leq r \text{ for all }i \in \{1,2,\ldots,n\}$ $ Por lo tanto, tenemos ese$$I_n(r) \leq \left(\int_{-r}^r f(x)dx\right)^n$ $ Dado que$f(x)$ es continuo y positivo con$\int_{\mathbb{R}} f(x)dx = 1$, tenemos que$\int_{-r}^r f(x)dx \in [0,1)$. Por lo tanto, tenemos ese$$\lim_{n \to \infty} I_n(r) =0$ $ para cualquier$r \in \mathbb{R}^+$.