¿Cómo resolver esta ecuación exponencial? $5^{x}-4^{x}=3^{x}-2^{x}$

Question

¿Cómo resolver esta ecuación exponencial?
$$5^{x}-4^{x}=3^{x}-2^{x}$$

Answer 1

Sugerencia:

$$\frac{5^x-4^x}{5-4} = \frac{3^x-2^x}{3-2}$$

Ahora uso el de Lagrange Valor medio Teorema durante los intervalos de $(2,3)$$(4,5)$. La igualdad sólo se aplica al $x \in \{0,1\}$.

Answer 2

$$5^x - 4^x = \int_4^5 x y^{x-1} \,dy$$ $$3^x - 2^x = \int_2^3 x y^{x-1} \,dy$$ $$= \int_4^5 x (y-2)^{x-1} \,dy$$ De modo que la diferencia entre el $5^x - 4^x$ $3^x - 2^x$ es $$ \int_4^5 x (y^{x-1} - (y-2)^{x-1})\,dy$$ En el integrando, puesto que en la $y \rightarrow y^{x-1}$ es monotono siempre $x \neq 1$, el la expresión de $(y^{x-1} - (y-2)^{x-1})$ será siempre negativo o positivo si $x \neq 1$, en cuyo caso la integral de la misma será distinto de cero, a menos que $x = 0$.

Llegamos a la conclusión de que el tiempo como $x \neq 0$ o $1$, $(5^x - 4^x) - (3^x - 2^x)$ es distinto de cero. Por lo tanto $3^x - 2^x = 5^x - 4^x$ sólo al $x = 0$ o $1$.

Después de escribir todo esto, probablemente yo prefiero el valor medio teorema de enfoque, pero hey, es bueno tener más de una manera de ver un problema.

Answer 3

Deje $f:[0.25,2] \to \mathbb R \,;\, f(a)=(3.5-a)^x+(3.5+a)^x \,.$

A continuación,$f'(a)=x[(3.5+a)^{x-1}-(3.5-a)^{x-1}]$.

Reclamo: Si $x \notin \{ 0,1 \}$ tenemos $f'(a) \neq 0 \forall a $.

De hecho, en este caso $f'(a) =0 \Rightarrow (3.5+a)^{x-1}=(3.5-a)^{x-1} \Rightarrow a=0$ que no está en nuestro dominio.

Esto demuestra que para $x \neq 0,1$, $f$ es de uno a uno en nuestro dominio, y por lo tanto

$$f(0.5) \neq f(1.5) \Rightarrow 3^x+4^x \neq 2^x+5^x $$

Answer 4

Único método que se me ocurre es tratar de forma gráfica. Desde sus pendientes varían mucho después de $(1,1)$ y antes de $(0,0)$, todas las posibles intersecciones puede estar entre dos puntos.

Cómo encontrar todas las posibles intersecciones es algo que tendría que volver a trabajar.