En la inclusión del cilindro de mapeo$i : X \hookrightarrow M_f$ es una cofibración.

Question

Estoy tratando de demostrar que, dado un mapa continuo $f : X \to Y$, la inclusión

$$ i : x \X \mapsto [(x,1)] \en M_f $$

es un cofibration.

Dado un homotopy $H : X \times I \to W$ e $g : M_f \to W$ , de modo que

$$ H(x,0) = gi(x) = g([(x,1)]) $$

queremos un homotopy $J : M_f \times I \to W$ tal que para todos los $x \in X$ hemos

$$ J([(x,1)],t) = H(x,t) \text{ y } J([(x,0)],t) = g(f(x)). $$

Desde $g$ es una función con dominio de $M_f$, que es un pushout, hemos funciones continuas $g_X : X \times I \to W$ e $g_Y : Y \to W$ tales que $$ g_Y(y) = g([y]), \quad g_X(x,t) = g([(x,t)]), $$

y $g_X(x,0) = g_Y(f(x))$.

Ahora, desde la $I$ es localmente compacto Hausdorff, por la ley exponencial de la endofunctor $$- \times I : \mathsf{Top} \to \mathsf{Top}$$ queda adjunto a $\mathsf{Top}(I,-) :\mathsf{Top} \to \mathsf{Top}$. De ahí el ex conserva colimits y por lo $M_f \times I$ es el pushout de $X \times I \xrightarrow{i_0 \times 1} (X \times I) \times I$ e $X \times I \xrightarrow{f \times 1} Y \times I$. Por lo tanto, el mapa de $J$ corresponde a una selección de mapas de $\tilde{H} : (X \times I) \times I \to W$ e $\tilde{g} : Y \times I \to W$ , de modo que $$\tilde{g}(f(x),t) = \tilde{H}(x,0,t).$$

Mi intuición aquí es dejar las iniciales de datos' $g$ fija en $Y$, y en cada instante $s$ a tienen una función de $X \times I$ que se comporta como $H_0$ en la parte inferior de la cara y coinides con $H_s$ en la parte superior de la cara. Esto haría $J$ una extensión de la original homotopy. Por lo tanto quería definir

$$ \tilde{H}(x,s,t) = H(x,t) \text{ y } \tilde{g}(y,t) =g_Y(y). $$

Sin embargo, para que estos a inducir un mapa de $M_f$ debemos tener la $g([(x,0)]) = g([(x,1)])$ para todos los $x \in X$. Pero además, para que la inducida por el mapa para preservar los datos iniciales, uno debe tener $g = Ji_0$ e $H = J(i \times 1_I)$ lo que equivale a probar

$$ g([(x,t)]) = g([(x,0)]) \quad (\forall t \in I). $$

No es evidente para mí que este es el caso. Lo que falta aquí? Son mis opciones para $\tilde{H}$ e $\tilde{g}$ incorrecta? Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Para el que desee $J$ tiene los requisitos de $J(i \times 1_I) = H$ lo que significa que $$J([x,1],t) = H(x,t)$$ y el requisito de $Ji_0 = g$ lo que significa que $$J([x,t],0) = g([x,t]) =g_X(x,t), J([y],0) = g([y]) = g_Y(y).$$ Aquí sabemos que $g_X(x,0) = g_Y(f(x))$.

$J$ es inducida por los mapas de $\tilde{g} : Y \times I \to W, \tilde{H} : (X \times I) \times I \to W$ tales que

(1) $\tilde{g}(f(x),t) = \tilde{H}(x,0,t)$.

Por lo tanto las dos requisitos traducir a

(2) $\tilde{H}(x,1,t) = H(x,t)$

(3) $\tilde{H}(x,t,0) = g_X(x,t), \tilde{g}(y,0) = g_Y(y)$

Ahora nos enfrentamos a un grave problema: La única oportunidad de dar una explícita definición de $\tilde{g}$ es para referirse a $g_Y$ y a tomar $g(y,t) = g_Y(y)$. Pero en general esto no funciona, como ya hemos visto. Por lo tanto, necesitamos un enfoque completamente diferente basado en algunos de los más profundos teoremas sobre cofibrations.

Consulte Asignación de cilindro cofibration para una solución.