Si $\frac{2}{x}=2-x,$ Encuentre $[x^9-(x^4+x^2+1)(x^6+x^3+1)]^3$ sin entrar en $\Bbb C$

Question

Si $\frac{2}{x}=2-x,$ Encuentre $[x^9-(x^4+x^2+1)(x^6+x^3+1)]^3$ sin entrar en $\Bbb C$

Después de resolver $x$ (es un cuadrático), y encontrar que $x=1\pm i$ es trivial ver los poderes de $x$ en el plano complejo, pero el problema debe resolverse sin utilizar los números complejos. Con los números complejos he encontrado que el resultado es $1$ . ¿Hay alguna manera de resolver esto en $\Bbb R$ sin entrar en $\Bbb C$ ?

Answer 1

Sugerencia

$$x^2=2x-2$$

$$x^3=2x^2-2x=2(2x-2)-2x=2x-4$$

$$x^4=(2x-2)^2=4-8x+4(2x-2)=-4$$

$$x^6=-4(2x-2)=?$$

$$x^9=(-4)^2x=?$$

Answer 2

Es suficiente para demostrar que $$x^9-(x^4+x^2+1)(x^6+x^3+1)=1$$ o $$(x^3-1-(x^4+x^2+1))(x^6+x^3+1)=0,$$ para lo cual basta con demostrar que $$x^4-x^3+x^2+2=0$$ o $$x^4-2x^3+2x^2+x^3-2x^2+2x+x^2-2x+2=0$$ o $$(x^2-2x+2)(x^2+x+1)=0,$$ lo cual es obvio.

Answer 3

Una respuesta un poco tardía pero creo que merece la pena mencionarla.

Aquí un cálculo directo que utiliza una sola vez el hecho

• $\frac{2}{x}=2-x \stackrel{x\neq 0}{\Leftrightarrow} \boxed{x^2 = 2x-2} \quad (\star)$

\begin{eqnarray*} \left[x^9-(x^4+x^2+1)(x^6+x^3+1)\right]^3 & = & \left[x^9-\frac{x^6-1}{x^2-1}\frac{x^9-1}{x^3-1}\right]^3\\ & = & \left[x^9-\frac{x^3+1}{x^2-1}(x^9-1)\right]^3\\ & = & \left[x^9-\frac{x^2-x+1}{x-1}(x^9-1)\right]^3 \\ & \stackrel{(\star)}{=} & \left[x^9-\frac{2x-2-x+1}{x-1}(x^9-1)\right]^3 \\ & = & \left[x^9-(x^9-1)\right]^3 \\ & = & 1 \\ \end{eqnarray*}