Un módulo $N$ es semipresencial $\Longleftrightarrow$ $N$ no tiene submódulos esenciales propios

Question

El problema: Un módulo $N$ es semipresente $\Longleftrightarrow$ $N$ no tiene submódulos esenciales propios.

Mi intento: Si $N$ es semisimple, entonces todo submódulo es un sumando directo de $N$ y por lo tanto no es esencial a menos que sea igual a $N$ . Por el contrario, cualquier $K \subsetneq N$ tiene un complemento $L \subsetneq N$ . Entonces $K \bigoplus L \subseteq N$ Así que si $N$ no tiene submódulos esenciales propios, $K$ es un sumando directo de $N$ .

Por favor, compruebe mi prueba. Gracias a todos.

Answer 1

Por el contrario, cualquier $K \subsetneq N$ tiene un complemento $L \subsetneq N$ . Entonces $K \bigoplus L \subseteq N$ Así que si $N$ no tiene submódulos esenciales propios, $K$ es un sumando directo de $N$ .

Decir que "cualquier $K$ tiene un complemento" suele significar $K\oplus L=N$ y eso sería un razonamiento circular. Lo que sí es cierto es esto:

Para cualquier $K$ existe un submódulo $L$ tal que $K\oplus L\subseteq_e N$ .

Yo no llamaría a eso "tener un complemento", pero eso es lo que tu argumento quiere emplear. Si eso es lo que quieres decir, entonces tu línea de razonamiento estaría completa.