2 preguntas sobre el morfismo$\mathbb{A}_k^{n+1}\backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{P}_k^n$

Question

Un ejercicio de Ravi Vakil de la geometría algebraica notas dice "Hacer sentido de la siguiente frase: $$\pi: \mathbb{A}_k^{n+1}\backslash\{0\} \rightarrow \mathbb{P}_k^n$$ given by $$(x_0,x_1...,x_n)\mapsto [x_0,x_1...,x_n]$$ es una de morfismos de esquemas.'"

Supongo que no significa que los morfismos con $$Spec~ k[x_0,x_1,..,x_n]_{x_i}\rightarrow Spec~(k[x_0,x_1,..,x_n]_{x_i})_0 $$ induced by the inclusion $$(k[x_0,x_1,..,x_n]_{x_i})_0 \subset k[x_0,x_1,..,x_n]_{x_i}$$ (where here $(k[x_0,x_1,..,x_n]_{x_i})_0$ is the degree zero elements of the ring $k[x_0,x_1,..,x_n]_{x_i}$).

Es esto correcto?

Y tengo otra pregunta: yo habría pensado que la imagen de $\pi(\mathfrak{p})$ de un punto de $\mathfrak{p}\in\mathbb{A}_k^{n+1}\backslash\{0\}$ podría describirse de la siguiente manera: Si $x_i\notin \mathfrak{p}$, y $$\mathfrak{p} = (f_1,...,f_m)$$ then we use $x_i$ to "homogenize" each $f_j$ -- that is we multiply each term of $f_j$ by some power of $x_i$ so that the resulting $f_j'$ is homogeneous. Then $$\pi(\mathfrak{p}) = (f_1',...,f_m') $$ (Here we are thinking of $\mathbb{P}_k^n$ as the space of all homogeneous primes of $k[x_0,..,x_n]$ no contiene el irrelevante ideal)

Es esto correcto?

Este es mi intuición, pero me parece que no puede demostrar que el uso de la mapa en la primera pregunta.

Answer 1

Vamos a llamar a $R=k[x_0,\dots x_n]$. Tenemos $\mathbb{A}^{n+1}-\{0\}=Spec(R)-(x_0,\dots x_n)$ e $\mathbb{P}^n$ corresponde homogénea prime en $R$ diferente de $(x_0 \dots x_n)$.

Ahora, dado un primer ideal $\mathfrak{p} \in Spec(R)$ podemos tomar su homogeneization $\mathfrak{p}^h$ que es un alojamiento ideal homogéneo.

Ahora, el mapa de $$ \pi: \mathbb{A}^{n+1}-\{0\} \to \mathbb{P}^n $$

$$\mathfrak{p} \to \mathfrak{p}^h$$ es al menos bien definidos para espacios topológicos.

Se puede comprobar que este mapa hace exactamente lo que usted señaló correctamente al final de su pregunta. Ahora, para definir el mapa entre las poleas ,se puede observar que $\pi(D(x_i))=D_+(x_0)$ donde $D(x_i)=\{\mathfrak{p} \in Spec(R) \ | \ x_i \not\in \mathfrak{p} \}$.

Así, supongamos que queremos definir nuestra morfismos de poleas $$\pi: \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n} \to \pi_*\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n+1}-\{0\}} .$$

Empezamos a definir restringido al abrir conjuntos de $\pi(D_(x_i))$ , de modo que, debido a la observación anterior y el hecho de que tanto $U_i=D_+(x_i)$ e $V_i=D(x_i)$ son afines , es suficiente para definir un morfismos de anillos de $ \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(U_i) \to \pi_*\mathcal{O}_{\mathbb{A}^{n+1}-\{0\}}(V_i)$.

Ahora, con el estándar de identificación este es el estándar de morfismos de inmersión le señaló.

Es un estándar de verificación de que estos morfismos parche localmente, de manera que obtenemos el mundial de $\pi$ entre las poleas que quería.

Vamos a ver lo que está pasando a los números primos aquí:vamos a $i=0$ por el bien de la simplicidad. Así que tenemos $\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}|_{U_0} \cong Spec(k[\dfrac{x_i}{x_0}])$. Este isomorfismo es así: se toma un homogénea prime $\mathfrak{p}$ , que puedes localizar en $x_0$ y luego de tomar el grado cero de la pieza.

Para conseguir lo Vakil es decir, tratar de buscar un lo que sucede en la máxima ideales.