¿Cómo resolver analíticamente este PDE?

Question

Gracias por mirar mi pregunta. Estoy trabajando a través de auto-estudio de la segunda edición de Ecuaciones Diferenciales Parciales: Una Introducción a cargo de Walter R. Strauss.

En la página tres, dos de ejemplo, dice

"Resolver el PDE $u_{xx} + u = 0$. De nuevo, es realmente una ODA con un extra y variable. Sabemos cómo resolver el problema de la educación a distancia, por lo que la solución es $u = f(y)cos(x) + g(y)sin(x)$, donde de nuevo $f(y)$ e $g(y)$ son dos funciones arbitrarias de $y$. Usted puede fácilmente verificar esta fórmula, diferenciando dos veces para verificar que $u_{xx} = -u$."

Lo que no entiendo es cómo se consigue $u = f(y)cos(x) + g(y)sin(x)$.

Él dice que es, básicamente, sólo una ODA con un extra y variable, pero no estoy viendo eso. Yo era capaz de entender el Ejemplo 1 y Ejemplo 3 después de él, y puedo ver que esto de la PDE es similar a la de la ODA forma de $y'' + y = 0$, pero simplemente ha sido una caliente minuto, ya he resuelto una ODA como este. Veo que es homogéneo, y se podría utilizar el método de la integración de los factores para ello, pero dado que este es un PDE no estoy seguro de cómo resolver esto. Mi estimación inicial de $C_{1}e^{r_{1}t} + C_{2}e^{{r_2}t}$ no trabajo, así que no estoy seguro de cómo se consiguió lo que se tiene a $u$. Entiendo que al integrar con respecto a $x$ la constante que se obtiene es una función de $y$, pero eso es todo lo que entender acerca de este problema. Es posible que alguien me enseñe como Walter consiguió su solución para $u$, por favor? Gracias.

Answer 1

Fijar un valor arbitrario para $y$, decir $y_0$. A continuación, vamos a $f(x) =u(x,y_0)$. Usted puede ver inmediatamente que $f''+f=0$. Esto es muy común en la educación a distancia y la mayoría de la gente apenas sabe que $\sin$ e $\cos$ son soluciones, pero si usted es infeliz con la que se puede llegar con $\exp(\omega x)$ soluciones y algunos de álgebra.

Ahora sabemos que $f(x) = A \sin(x) + B \cos(x)$ para un arbitrario $y_0$. La única cosa que puede cambiar cuando cambiamos $y_0$ son los valores de las constantes de $A,B$.

Esto finalmente lleva a la conclusión de $u(x,y) = A(y)\sin(x) + B(y)\cos(x)$ e las $A,B$ ahora las funciones de $y$ están determinados por las condiciones de contorno.

Answer 2

Queremos resolver $\frac{\partial^2}{\partial x^2} u(x,y)+u(x,y)=0.$ Como usted ha dicho, podemos resolver esto como una ODA. Consideremos una conjetura $u(x,y)=c(y)e^{rx}.$ realizamos $c$ dependen $y$ porque $c(y)$ todavía es constante en $x$, que es la variable que estamos diferenciar. Conectar de tal conjetura, se obtiene la ecuación característica $$r^2+1=0,$$ which has imaginary roots at $\pm i$, lo que lleva a la solución $$u(x,y)=c(y)\cos x+b(y)\sin x.$$ So, the mistakes in your interpretation were that your guess should depend on $y$ y que su conjetura era perfectamente válido, pero debe tener en cuenta el complejo de raíces aquí.

Answer 3

Hay un par de hechos que se tratan siempre como "evidente" en las Odas (porque, presumiblemente, usted ha estado pensando acerca de ellos sin parar desde Calc I):

• La derivada de una constante (con respecto a cualquier variable independiente) es cero.
• La derivada de un polinomio (con respecto a su variable) reduce el grado por uno.
• La derivada de $f(x) = \mathrm{e}^{kx}$ con respecto al $x$ es una constante en varios de $f$. (Precisamente, $\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \mathrm{e}^{kx} = k \mathrm{e}^{kx}$.)
• El segundo de los derivados de la $g(x) = \sin kx$ e $h(x) = \cos kx$ con respecto al $x$ son constantes múltiplos de $g$ e $h$, respectivamente. (Precisamente, $\dfrac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}x^2} \sin kx = -k^2 \sin x$, y de manera similar para el coseno.) Además, impar derivadas de orden de $g$ e $h$ swap de ellos.

Entonces, al ver a "la segunda derivada de $y$ es el negativo de $y$", usted debe estar pensando "del seno y del coseno" prácticamente de inmediato.

El punto sobre el seno y el coseno se pueden colocar en el uno sobre exponenciales, por lo que podría haber llegado allí con su ecuación característica del método, pero es necesario recordar lo que exponenciación hace a los números complejos. En particular, recuerdan $\mathrm{e}^{\mathrm{i}x} = \cos x + \mathrm{i} \sin x$. Entonces, ¿qué pasaría con su ecuación característica es, de $$ y'' + y = 0 $$ usted tiene la ecuación característica $$ x^2 + 1 = 0 \text{.} $$ A continuación, el carácter de las raíces se $\pm \mathrm{i}$, por lo que las soluciones (con constantes arbitrarias $c_1$ e $c_2$) son de $c_1 \mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$ e $c_2 \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x}$. Estos son los senos y cosenos en disimular: \begin{align*} \mathrm{e}^{\mathrm{i} x} &= \cos x + \mathrm{i} \sin x \\ \mathrm{e}^{-\mathrm{i} x} &= \cos x - \mathrm{i} \sin x \text{.} \end{align*}