Cómo construir una matriz$A$ tal que su cuadrado sea proporcional a su inverso

Question

Dar un problema que construir una matriz $A$ de $3\times 3$ en el que en más de una entrada es cero y tal que $A^2=kA^{-1}$ donde $k$ es un número real distinto de cero.

Deje $A=(a_{ij})$, con $a_{11}=0$, $1\leq i \leq 3$, $1\leq j\leq 3$. una matriz de $3\times3$. A continuación, $A^2=kA^{-1}$ implica $A^3=kI$. Pero, es un largo tiempo para calcular el $A^3$, yo no puedo hacerlo. Algunos saben de la otra manera de proceso?

Answer 1

Simplemente use la matriz compañera del polinomio $x^3-k$ , que es $$ \begin{bmatrix}0&0&k\\1&0&0\\0&1&0\end {bmatrix} $$

Answer 2

Deje $a=2\pi/3$.

La idea es considerar la matriz de rotación con un ángulo $a$ y el eje de la $Ox$, es decir,

$$R=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(a)&-\sin(a)\\0&\sin(a)&\cos(a)\end{pmatrix}$$

Claramente $R^3=I$. Pero $R$ tiene más de un cero en la entrada.

Basta, ahora, $Q:=P^{-1}RP$ en lugar de $P$ para cumplir con el cero en la condición de las entradas, para (casi) cualquier matriz invertible $P$. De hecho,

$$Q^3=P^{-1}RPP^{-1}RPP^{-1}RP=P^{-1}RP=Q$$

Por ejemplo, $$P=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&-1&0\\0&0&1\end{pmatrix},$$

uno obtiene :

$$Q=\begin{pmatrix}1/4&3/4&-\sqrt{3}/4\\3/4&1/4&\sqrt{3}/4\\ \sqrt{3}/2&-\sqrt{3}/2&-1/2\end{pmatrix}$$

Por supuesto toma de $4Q$ en lugar de $Q$ le dará una simplificación de la matriz, con $(4Q)^3=64I$, es decir, este tiempo que tenemos un factor de $k=64$ (hasta ahora $k=1$).

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Edit : Otra matriz, mejor en el punto de vista de la simplicidad, es

$$R=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\ 0&1&0\end{pmatrix}\tag{1}$$

$R$ pertenece a la categoría de permutación de matrices, con propiedad $R^3=I$.

Tomando el mismo $P$ como en el anterior, obtiene :

$$Q=P^{-1}RP=\begin{pmatrix}1/2&1/2&1/2\\-1/2&-1/2&1/2\\ 1&-1&0\end{pmatrix}$$

(el criterio se cumple : sólo un cero en la entrada).

Tomando $S=2Q$ (que fullfills $S^3=8I$), obtenemos una solución aún más simple :

$$S=2Q=\begin{pmatrix}1&1&1\\-1&-1&1\\ 2&-2&0\end{pmatrix}$$

Comentario : matriz $R$ en (1) es así como una matriz de rotación de ángulo de $a=2 \pi/3$, pero alrededor del eje $x=y=z$.