Dividir el cuadrado en triángulos isósceles congruentes

Question

¿Puedo dividir un cuadrado utilizando otros triángulos isósceles congruentes que $45-90-45$ ¿? Por ejemplo, ¿puedo utilizar $30-120-30$ triángulos congruentes que cubran completamente un cuadrado sin superponerse o extenderse fuera del mismo?

Mi único argumento hasta ahora es que la esquina del cuadrado debe estar compuesta por un solo tipo de ángulo (los triángulos isósceles tienen dos "tipos" de ellos: 2 en la base y uno en la parte superior). Eso viene del hecho de que $2a + b = 180; a, b > 0; a + b < 90 => a > 90$ (imposible). También el ángulo elegido para completar la esquina debe dividir exactamente 90. A saber: $90/a = i$ , donde $i$ es un número entero positivo.

Answer 1

No se puede hacer con $30^\circ$ - $30^\circ$ - $120^\circ$ triángulos. Supongamos que el cuadrado unitario está embaldosado con $n$ tales triángulos, cuyos lados iguales tienen longitud $s$ y cuyos lados más largos tienen longitud $t=\sqrt{3}s.$ El área de cada triángulo es $$\frac12 s^2\sin{120^\circ}={s^2\sqrt{3}\over4}=\frac1n,$$ para que $$\frac1s={\sqrt{n}\sqrt[4]{3}\over2},$$ un número algebraico de grado $4$ .

Por otro lado, el mosaico divide cada lado del cuadrado en segmentos de línea de longitudes $s$ y $t$ . Supongamos que un lado está cubierto por $a$ segmentos de longitud $s$ y $b$ segmentos de longitud $t$ donde $a$ y $b$ son enteros no negativos, no ambos $0$ . Entonces tenemos $$as+bt=1\implies as+b\sqrt{3}s=1$$ para que $$\frac1s=a+b\sqrt{3}$$ un número algebraico de grado $2$ contradiciendo el resultado anterior.

Debería ser posible extender esta línea de razonamiento para resolver el problema general, pero creo que no recuerdo suficiente álgebra.