Relacionar $\int_0^1\frac{(\ln x)^{n-1}(\ln(1-z\,x))^p}{x}dx$ y $\int_0^1\frac{(\ln x)^{n}(\ln(1-z\,x))^{p-1}}{1-z\,x}dx$

Question

Este puesto tras un complicado análisis, evalúa la integral $$I=\int_0^1\frac{\ln^2(x)\,\ln^3(1+x)}xdx$$

simplemente como

$$I =-\frac{\pi^6}{252}-18\zeta(\bar{5},1)+3\zeta^2(3)\tag1$$

donde,

$$\zeta(\bar{5},1)=\frac{1}{24}\int^1_0\frac{\ln^4{x}\ln(1+x)}{1+x}{\rm d}x$$

Más brevemente,

$$I = -12\,S_{3,3}(-1)\tag2$$

con Polilogaritmo generalizado de Nielsen $S_{n,p}(z)$ .

Pregunta: ¿Cómo demostramos que $\zeta(\bar{5},1)$ también es ¿un polilogaritmo generalizado de Nielsen disfrazado? En general, para $-1\leq z\leq1$ Cómo mostrar

$$\begin{aligned}S_{n,p}(z) &= C_1\int_0^1\frac{(\ln x)^{n-1}\big(\ln(1-z\,x)\big)^p}{x}dx\\ &\overset{?}= C_2\int_0^1\frac{(\ln x)^{n}\;\big(\ln(1-z\,x)\big)^{p-1}}{1-z\,x}dx\end{aligned}\tag3$$

donde, $$C_1 = \frac{(-1)^{n+p-1}}{(n-1)!\,p!},\qquad C_2 = \frac{(-1)^{n+p-1}}{n!\,(p-1)!}\color{red}z$$

Si es cierto, esto implica,

$$\zeta(\bar{5},1) \overset{\color{red}?}= S_{4,2}(-1)\tag4$$

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Editar: Resulta que la notación $\zeta(\bar{5},1)$ es un función zeta múltiple Así que..,

$$\zeta(\bar{a},1)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{H_n}{(n+1)^a}\,(-1)^{n+1} = S_{a-1,2}(-1)$$

con números armónicos $H_n$ Por lo tanto $(4)$ de hecho es cierto y es justo el caso $a=5$ . Sin embargo, $(3)$ todavía tiene que ser probado en general.

Answer 1

Sin saber mucho sobre el contexto de este problema, la relación entre las dos integrales parece ser bastante directa a partir de la integración por partes. Para $n, p \geq 1$ , escribiendo $u(x) = (\ln x)^n$ y $v(x) = (\ln(1 - zx))^p$ tenemos $$\frac{du}{dx} = \frac{n(\ln x)^{n-1}}{x} \qquad \text{and} \qquad \frac{dv}{dx} = -\frac{pz (\ln (1 - zx))^{p-1}}{1 - zx}$$ por lo tanto, utilizando la integración por partes: \begin{align*} n\int_0^1 \frac{(\ln x)^{n-1} (\ln(1 - zx))^p}{x} \,dx &= \int_0^1 \frac{du}{dx} v \,dx \\ &= (uv)|_0^1 - \int_0^1 u \frac{dv}{dx} \,dx \\ &= pz\int_0^1 \frac{(\ln x)^n (\ln (1 - zx))^{p-1}}{1 - zx} \,dx \end{align*} donde la última ecuación se mantiene ya que $u(x)v(x) \to 0$ como $x \to 0$ o $x \to 1$ .

Esto es $(3)$ hasta el factor $(-1)^{n+p-1}/n! p!$ .