¿Por qué$e^{1/e}$ está cerca de$\frac{13}{9}$?

Question

PS

¿Hay alguna razón por la que esté cerca de $$e^\frac{1}{e} = \frac{13.002010749 \cdots}{9}$ ? ¿O es solo una coincidencia matemática?

Answer 1

$13/9$ es un convergentes de la continuación de la fracción de $e^{1/e}$, por lo que se espera estar más cerca de $e^{1/e}$.

La continuación de la fracción parece $$ e^{1/e} = 1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 4+\frac{1}{55+\ddots}}} $$ y desde $55$ es excepcionalmente grande, la aproximación $$ 1+\frac{1}{\displaystyle 2+\frac{1}{\displaystyle 4}} = \frac{13}{9} $$ es muy estrecha.

Answer 2

Aunque no es una "coincidencia" en el sentido de que $\frac{13}{9}$ está estrechamente relacionada con la continuación de la fracción de expansión de $e^{1/e}$, sorprendente "coincidencias" puede ser generado con bastante facilidad. Te recomiendo el siguiente artículo excelente sobre el tema:

Aparentemente Notables Coincidencias Matemáticas Son Fáciles de Generar

Answer 3

Mediante el uso de la teoría de fracciones continuas, se obtiene un método sistemático para generar la mayor cantidad similar "coincidencias" como te gusta. He aquí cómo.

En general, cada número irracional $x > 0$ tiene un único convergente continuó fracción de expansión de la forma $$x = n_0 + \frac{1}{n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3 + \frac{1}{...}}}} $$ para enteros únicos $n_0 \ge 0$ e $n_1,n_2,n_3,\ldots \ge 1$. Truncar este infinito continuó fracción para formar una secuencia de fracciones continuas finitas le da una secuencia de muy buenas aproximaciones racionales, comenzando con $$x \aprox n_0 $$ $$x \aprox n_0 + \frac{1}{n_1} $$ $$x \aprox n_0 + \frac{1}{n_1 + \frac{1}{n_2}} $$ $$x \aprox n_0 + \frac{1}{n_1 + \frac{1}{n_2 + \frac{1}{n_3}}} $$ Si un gran valor de $n_i$ aparece, entonces la aproximación es particularmente cercano al truncar la expresión justo antes de $n_i$.

Así, por ejemplo, el uso de $$\pi = 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1 + \frac{1}{292 + ...}}}} $$ si queremos truncar justo antes de $292$ a continuación, se debe obtener una particularmente buena aproximación, a saber $$\pi \aprox 3 + \frac{1}{7 + \frac{1}{15 + \frac{1}{1}}} = \frac{355}{113} $$ que se pueden comparar a la aproximación decimal $$\pi \aprox 3.14159265358979... \approx \frac{354.999969856...}{113} $$ Qué casualidad!