Para cada$m$ suficientemente grande existe$k$ tal que$m = k + \tau(k)$

Question

Deje $\tau(k)$ , el número de divisores positivos de número natural $k$. Es cierto, que existe $n_0$ , de tal manera que para cada $m\geq n_0$ existe $k \in\mathbb{N}$ tal forma que: $$m = k + \tau(k)$$

He intentado usar la siguiente fórmula para $\tau$: $$\tau(p_1^{k_1}\ldots p_{s}^{k_s}) = (k_1 +1)\cdot\ldots \cdot(k_s +1),$$ Donde $p_1, \ldots, p_s$ son diferentes números primos.

Intuitivamente, creo que la respuesta va a ser que no. Por lo tanto, podemos asumir que el contrario (que tal $n_0$ existe) y probar con una serie infinita de números (números primos, factoriales, primorials, etc.), que no puede ser escrita en la forma $k + \tau(k)$ por cada $k$. Pero mis intentos no tuvieron éxito.

Así que, voy a estar agradecido por las sugerencias y las ideas.

Answer 1

Estamos mirando, una composición específica. Incluido, es una partición multiplicativa (número de divisores, en este caso). Es probable que los números altamente compuestos tengan el mayor número de particiones multiplicativas debido al mayor número de divisor hasta un punto. Estos pueden no ser tan densos en los naturales sin embargo. 12 divisores se producen en una de las 4 formas: $$p^{11}\\p^5q\\p^3q^2\\p^2qr