Encontrar los máximos y mínimos de $f( \theta) = a \sin^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + c \cos^2 \theta$

Question

Demuestre que, sea cual sea el valor de $\theta$ la expresión

$$a \sin^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + c \cos^2 \theta\ $$

Mentiras entre

$$\dfrac{a+c}{2} \pm \dfrac 12\sqrt{ b^2 + (a-c)^2} $$

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Mi intento:

La expresión dada se puede reducir como suma de funciones seno como:

$$(a-c) \sin^2 \theta + \dfrac b2 \sin 2 \theta + c \tag{*} $$

Ahora, hay una manera de tomar todo en función de $\theta$ y obtener la expresión en forma de $ a \sin \theta + b \cos \theta = c$ y dividiéndolo por $ \sqrt{ a^2 + c^2} $ ambos lados, pero el cuadrado en la función seno es un gran problema, además ambos tienen argumentos diferentes.

Otra forma que se me ocurre es tomar $ \tan \dfrac \theta 2 = t$ y obteniendo la función seno y coseno como $ \sin \theta = \dfrac{ 2t}{1+t^2} $ mientras que la función coseno como $ \dfrac{ 1-t^2} {1+t^2}$ resolver. Así que conseguir $(*)$ en función de $t$ y simplificando obtenemos,

$$ f(t) = \dfrac{2 Rt + 2 R t^3 + R_0 t - R_0 t^3}{1+t^4 + 2t^2} + c\tag{1}$$

Para $R_0 = 2b, R = (a-c)$ El rango de la fracción dada parece ser el siguiente $ (-\infty,+ \infty)$ ¡y no está acotado!

¿Cuál es el problema? ¿Puede resolverse?

Gracias :)

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Edit : Me gustaría agradecer a @kaviramamurthy por señalar que como $t \rightarrow \pm \infty, f(t) \rightarrow c$ . Eso es un error.

Answer 1

Por las fórmulas del doble ángulo, la expresión es equivalente a

$$\frac12\left(a+c+(a-c)\cos2\theta+b\sin2\theta\right).$$

Ahora la expresión $(a-c)\cos2\theta+b\sin2\theta$ puede verse como el producto punto de un vector con un vector unitario giratorio, que toma sus valores extremos cuando los vectores son paralelos o antiparalelos, dando

$$\pm\|(a-c,b)\|=\pm\sqrt{(a-c)^2+b^2}.$$

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El mismo resultado se puede obtener por diferenciación, o reduciendo a la fórmula de adición del seno.

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Otra forma es encontrar los extremos de $(a-c)x+by$ bajo la restricción $x^2+y^2=1$ . Utilizando un multiplicador de Lagrange, las ecuaciones son

$$\begin{cases}x^2+y^2&=1,\\a-c&=2\lambda x,\\b&=2\lambda y,\end{cases}$$

dar fácilmente

$$x=\pm\frac{a-c}{\sqrt{(a-c)^2+b^2}},\\y=\pm\frac{b}{\sqrt{(a-c)^2+b^2}}.$$

Answer 2

Podemos utilizar un truco para expresar la función como algo más fácil de tratar. Afirmamos que podemos escribir la función como $(d \cos \theta + e \sin \theta)^2 + f$ o $-(d \cos \theta - e \sin \theta)^2 + f$ para algunas constantes $d, e, f$ . A partir de aquí, convertir $d \cos \theta + e \sin \theta$ en una sola función trigonométrica es simple, y podemos encontrar los límites exactamente.

Nótese que para que nuestra expresión funcione, debemos tener $de = \frac{b}{2}$ . Así que ampliamos $(d \cos \theta + \frac{b}{2d} \sin \theta)^2$ para conseguir $d^2 \cos^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + \frac{b^2}{4d^2} \sin^2 \theta$ . Si podemos encontrar un $d$ Satisfaciendo a $d^2 - \frac{b}{4d^2} = a^2 - c^2$ entonces la expresión será exactamente $a \sin^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + c \cos^2 \theta - f(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$ para algunos $f$ . Pero la resolución de $d$ es ahora una cuadrática en $d^2$ . Se puede adoptar un enfoque similar con $-(d \cos \theta - e \sin \theta)^2$ una de las dos siempre funcionará y producirá los límites exactos requeridos.

Answer 3

Por C-S obtenemos: $$a\sin^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+c\cos^2\theta=a\cdot\frac{1-\cos2\theta}{2}+b\cdot\frac{\sin2\theta}{2}+c\cdot\frac{1+\cos2\theta}{2}=$$ $$=\frac{1}{2}\left(a+c+b\sin2\theta-(a-c)\cos2\theta\right)\leq\frac{1}{2}\left(a+c+\sqrt{(b^2+(-a+c)^2)\left(\sin^22\theta+\cos^22\theta\right)}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(a+c+\sqrt{b^2+(a-c)^2}\right)$$ y por C-S de nuevo obtenemos: $$a\sin^2\theta+b\sin\theta\cos\theta+c\cos^2\theta=\frac{1}{2}\left(a+c+b\sin2\theta-(a-c)\cos2\theta\right)\geq$$ $$\geq \frac{1}{2}\left(a+c-\sqrt{(b^2+(-a+c)^2)\left(\sin^22\theta+\cos^22\theta\right)}\right)=$$ $$=\frac{1}{2}\left(a+c-\sqrt{b^2+(a-c)^2}\right).$$ La igualdad en ambos casos se da para $$(\sin2\theta,\cos2\theta)||(b,-a+c),$$ que dice que tenemos un valor mínimo y el máximo de la expresión.

Ahora bien, como $f$ es una función continua, obtenemos que el rango de $f$ es: $$\left[\frac{1}{2}\left(a+c-\sqrt{b^2+(a-c)^2}\right),\frac{1}{2}\left(a+c+\sqrt{b^2+(a-c)^2}\right)\right]$$

Answer 4

Este problema equivale a

$$ \min(\max) a x^2+b x y + c y^2 \ \ \mbox{s. t.}\ \ x^2+y^2=1 $$

este es un problema homogéneo por lo que llamar $y = \lambda x$ y sustituyendo tenemos de forma equivalente

$$ \min(\max) f(\lambda) = \frac{a+\lambda b+\lambda^2c}{1+\lambda^2} $$

y la condición de los extremos es

$$ f'(\lambda) = 0\Rightarrow 2 \lambda (c-a)-b \lambda ^2+b = 0 $$

dando

$$ \lambda = \frac{c-a\pm\sqrt{(a-c)^2+b^2}}{b} $$

sustituyendo ahora en $f(\lambda)$ tenemos

$$ \frac{1}{2} \left(-\sqrt{(a-c)^2+b^2}+a+c\right)\le f(\lambda)\le \frac{1}{2} \left(\sqrt{(a-c)^2+b^2}+a+c\right) $$

Answer 5

En realidad no es una respuesta completa pero, en mi opinión, es una generalización interesante. Tenga en cuenta que el problema es un caso especial de la siguiente declaración.

Propuesta. Dejemos que $\beta$ sea una forma bilineal simétrica en $n$ -espacio euclidiano de dimensiones $\left(V, \langle\cdot, \cdot\rangle\right)$ y $\lambda_1\geq \lambda_2\geq\ldots\geq\lambda_n$ son valores propios del operador lineal $A$ que se define por la igualdad $\beta(x, y)=\langle Ax, y\rangle$ . Para el subespacio vectorial $L\subset V$ definir $$ \underline{\lambda}(L):=\min\{\beta(v,v)| v\in L,\|v\|=1\}, \\ \overline{\lambda}(L):=\max\{\beta(v,v)| v\in L,\|v\|=1\}. $$ Entonces, para todos los $1\leq k\leq n$ se cumple la siguiente ecuación $$ \lambda_k=\max\{\underline{\lambda}(L)|\dim L= k\}=\min\{\overline{\lambda}(L)|\dim L= n+1-k\}. $$

En nuestro caso $n=2$ y el operador $A$ (y la forma bilineal simétrica $\beta$ ) tiene la matriz \begin{pmatrix} a & b/2 \\ b/2 & c \end{pmatrix} La ecuación característica de esta matriz es $(a-\lambda)(c-\lambda)-\frac{b^2}{4}=0$ , por lo que tenemos valores propios $\lambda_1=\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{b^2+(a-c)^2}$ y $\lambda_2=\dfrac{a+c}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{b^2+(a-c)^2}$ .

Utilizando la proposición anterior obtenemos que $$ \min_{\|v\|=1}\beta(v, v)=\lambda_2, \max_{\|v\|=1}\beta(v, v)=\lambda_1. $$ Por último, hay que tener en cuenta que $\|v\|=1$ equivale a $v=(\sin\theta, \cos\theta)^T$ para algunos $\theta\in [0,2\pi)$ . Así, $$ \min_{\theta} (a \sin^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + c \cos^2 \theta) = \lambda_2=\dfrac{a+c}{2}-\dfrac{1}{2}\sqrt{b^2+(a-c)^2}, \\ \max_{\theta} (a \sin^2 \theta + b \sin \theta \cos \theta + c \cos^2 \theta) = \lambda_1=\dfrac{a+c}{2}+\dfrac{1}{2}\sqrt{b^2+(a-c)^2}, $$ como se desee.