¿Existe un$n \in \mathbb{N}$ tal que la integral de Riemann impropia$\int_0^{\infty}|\sin(x^{n})|$ converge?

Question

Sé que $\int_0^{\infty}\sin(x^{\alpha})$ converge para $|\alpha| \geq 1$ que puede ser atribuido a la cancelación de las áreas y $\int_0^{\infty}|\sin(x^{n})|$ diverge para $n = 2$ ya que no hay ninguna cancelación de las áreas. Parece raro, pero es que hay un $n$ tales que el área de las oscilaciones se puede hacer tan pequeña que puede ser aproximada por una serie geométrica y, por tanto, mostrar que esta integral converge?

Answer 1

La respuesta es no. Considere $\int^A_1|\sin(t^n)|\,dt$ . Luego $$ \ int ^ A_1 | \ sin (t ^ n) | \, dt = \ int ^ A_1 \ frac {| \ sin (t ^ n) |} {t ^ n} t ^ n \, dt = \ frac {1} {n} \ int ^ {A ^ n} _1 \ frac {| \ sin u |} {| u |} u ^ {1 / n} du \ geq \ frac {1} {n} \ int ^ {A ^ n} _1 \ frac {| \ sin u |} {| u |} du \ rightarrow \ infty $$ as $A\rightarrow\infty$

Answer 2

Tienes $$ \int_0^\infty |\sin(x^n)| dx = \sum_{k=0}^\infty a_k$ $ donde \begin{align} a_k &= \int_{\sqrt[n]{k\pi}}^{\sqrt[n]{(k+1)\pi}} |\sin(x^n)|dx =^{x=y^{\frac1n}} \\ &= \int_{k\pi}^{k\pi+\pi} |\sin y| \frac{y^{\frac1n-1}}{n}dy \ge \\ &\ge \int_{k\pi}^{k\pi+\pi} |\sin y| \frac{(k\pi+\pi)^{\frac1n-1}}{n}dy = \\ &= 2\frac{\pi^{\frac1n-1}}{n} (k+1)^{\frac1n-1}\end {align}

En la prueba de comparación, $\sum_{k=0}^\infty a_k$ es divergente.