Proceso de punto espacial: ¿Una función de intensidad de primer orden no homogénea afecta la dependencia de segundo orden?

Question

Como sugiere el título, estoy teniendo un poco de confusión sobre el efecto de primer orden en función de la intensidad. Si tengo una de primer orden de la función de la intensidad que dice en una determinada región, los puntos son mucho más propensos a ocurrir, eso significa que habrá muchos más puntos de los que ocurren en la región y parece que los puntos de la agrupación en clústeres en esa región y, posteriormente, sugiere que en esa región el punto de patrones se agrupan. Así que parece que la falta de homogeneidad en el primer fin de intensidad afecta a la segunda orden de intensidad.

Mi entendimiento es que la primera función de la intensidad de especificar el nivel general de intensidad en el que los puntos se producen. Luego, basándose en que la intensidad, si los puntos en una determinada región se agrupan o repulsivo en comparación con una misma intensidad el proceso de Poisson es entonces determinado por el segundo orden en función de la intensidad.

Si mi interpretación es correcta, entonces cualquier punto del patrón puede ser considerado como un proceso de Poisson no homogéneos si describimos el primer fin de intensidad tan detallado como sea posible. Pero, por supuesto, que va a ser un caso de sobreajuste.

Es este entendimiento correcto?

Answer 1

De primer orden de la intensidad y de segundo orden de la intensidad de medir diferentes aspectos de un proceso que puede ser de forma casi independiente variadas. En particular, no cada punto del proceso se puede considerar como un proceso de Poisson no homogéneos.

Vamos a tratar de que la última edición primera. Considere la posibilidad de un proceso de Poisson homogéneo en el intervalo de $[0,1].$ Los espacios tienden a seguir una distribución exponencial. Vamos a compararlo con un proceso que tiende a mantener un espaciado más uniforme, un "aleatorio estratificado del" proceso". Se crea dividiendo el intervalo en miles de no superposición de contenedores y seleccionar un uniforme de puntos al azar dentro de cada grupo. Tienen el mismo primer orden intensidades, como sugieren estas estimaciones a partir de una sola realización de cada proceso:

Estos procesos se distinguen fácilmente mediante el examen de los intervalos entre los valores sucesivos:

Es de hecho el caso de que ciertas formas de "clustering" puede ser caracterizado por la segunda orden de intensidad, pero no todos. La agrupación puede significar cualquier combinación de dos cosas:

1. "De primer orden" agrupación cerca de una ubicación de $s$ sólo significa que hay tienden a ser más puntos en un barrio de $s$ a través de todas las realizaciones.

2. "De segundo orden" agrupación cerca de una ubicación de $s$ significa la aparición de un punto cercano a $s$ está asociado con la aparición de puntos en otros lugares cerca de $s.$

Esta sonidos sutiles, así que vamos a contrastar algunos ejemplos. Me han generado la realización de dos procesos: uno que es simplemente no homogéneas, con una intensidad de cinco veces mayor en el intervalo de $(0,1/2]$ que en el intervalo de $(1/2,1]$; y otro que es del mismo modo homogéneo , sino concentrados en el intervalo de $(0,1/2]$. Para generar este último, he creado una secuencia de iid exponencial de la varia $dX_i$, multiplicado cada quinto a uno de ellos por $100,$ y calcula su suma total $X_i,$ finalmente dividiendo por dos veces su suma para colocarlos dentro de la gama de $(0,1/2].$ El proceso en el intervalo de $(1/2,1]$ es un proceso de Poisson homogéneo, igual que antes. Esto crea un proceso en el que hay tienden a ser apretados grupos de cuatro puntos, todos ampliamente separados unos de otros. Debido a la intervención de las brechas entre esos puntos son al azar, sin embargo, los lugares donde esos grupos se producen tienden a no ser la misma de una realización a otra. Cuando usted tiene la oportunidad de ver varias realizaciones de un proceso, esta es una manera de distinguir la falta de homogeneidad (que persisten de una realización a la siguiente) de la agrupación (que puede ocurrir en cualquier lugar, no necesariamente en lugares fijos).

La realización de cada proceso aparece como una alfombra parcela en la parte inferior. Los puntos de un diagrama de dispersión de la $(X_i, dX_i)$ pares: es decir, las alturas gráfico de las lagunas para el siguiente punto en la derecha. Los diagramas de dispersión de distinguir claramente los dos procesos.

Answer 2

En términos generales, su comprensión suena correcta. En particular, tiene razón en que es básicamente imposible distinguir "falta de homogeneidad de primer orden" y "agrupamiento de segundo orden debido a las interacciones entre puntos" en función de un único patrón de puntos.