Cálculo del límite de una suma

Question

A todos, tengo que calcular un límite particular que contiene una suma y no tengo idea de cómo resolver este problema. La tarea es calcular este límite: $$\lim_{n\to \infty}\left(\frac n6\sum_{i=0}^\infty \left(\frac 56\right)^i\left(1-\left(\frac56\right)^i\right)^{n-1}\right) $ $ Agradeceré cualquier sugerencia o solución.

Answer 1

Poco jugando, pero no una respuesta. Si establecemos $x=\left(\frac 56\right)^i$ podemos encontrar la mayor plazo en la suma de diferenciar $x(1-x)^{n-1}$ y el ajuste a cero. Resulta que el máximo es de a $x=\frac 1n$ o $i=\frac {\log n}{\log 1.2}$. El valor de la duración máxima es de alrededor de $\frac 1{ne}$. Si graficamos los términos de la suma son marcadamente alcanzó su punto máximo alrededor de la máxima y la anchura aparece indpendent de $n$. La figura a continuación es para $n=10000$, donde el pico es de a $i=50$ o $51$. El eje horizontal es $i$ y el eje vertical es el término en la suma
Yo también trazan $n=10, 100, 1000$ y el ancho y la forma del pico no parecen cambiar. Me escribió un programa en Python a la suma de la serie a $i=100000$, sumando las de arriba hacia abajo, de modo que no pierde importancia la adición de la pequeña términos. El resultado fue consistente a más de diez cifras para todas las $n$ traté de $10$ a $10^6$ a $0.91413582462$

Answer 2

Yo podría tener un comienzo. Necesito ordenar los términos de error con mi aproximaciones.

Estoy recibiendo alrededor de $\frac{1}{6 \ln{6/5}}$ pero mis pasos podría estar equivocado.

Vamos a: $$\alpha=\frac{5}{6}$$ $$f(n)=\frac{1}{6}\frac{n}{n-1}(n-1)\sum_{i=0}^\infty\alpha^i(1-\alpha^i)^{n-1}$$

Así: $$f(n+1)=\frac{1}{6}\frac{n+1}{n}(n)\sum_{i=0}^\infty\alpha^i(1-\alpha^i)^{n}$$

Aquí está una cuestionable paso.

Hace esto?: $$(1-\alpha^i)^n=(1-n\alpha^i/n)^n=e^{-n\alpha^i}$$

A continuación, para la gran n:

$$f(n+1)=\frac{1}{6}\sum_{i=0}^\infty \ n\alpha^ie^{-n\alpha^i}$$

Luego nos aproximado de la suma con un integrante de la sustitución de x para el yo.

$$f(n+1)\approx\frac{1}{6}\int_{0}^\infty na^xe^{-na^x}dx$$

Deje $u=n\alpha^x$

Entonces: $du=n \ln{\alpha} \alpha^x dx$

Así : $$f(n+1)\approx \frac{1}{6}\int_{n}^0 \frac{1}{\ln{\alpha}}e^{-u}du$$

La integración de:

$$f(n+1)\approx \frac{1}{6\ln{\alpha}}=\frac{1}{6\ln{\alpha}}(-e^{-u})|_n^0=\frac{-1+e^{-n}}{6\ln{\alpha}}$$

Se ve precisa:

Answer 3

Tampoco es una respuesta, pero puede reemplazar la suma infinita por una finita como se muestra a continuación. Un error en mi intento anterior de realizar este cálculo fue responsable de mi afirmación errónea de que la suma divergió como $\ n\rightarrow\infty\ $ . \begin{eqnarray} \sum_{i=0}^\infty \left(\frac 56\right)^i\left(1-\left(\frac56\right)^i\right)^{n-1} &=& \sum_\limits{i=0}^\infty\left(\frac{5}{6}\right)^i\sum_\limits{j=0}^{n-1}{n-1\choose j}\left(-1\right)^j\left(\frac{5}{6}\right)^{ij}\\ &=&\sum_\limits{j=0}^{n-1}\left(-1\right)^j{n-1\choose j}\sum_\limits{i=0}^\infty\left(\frac{5}{6}\right)^{i\left(j+1\right)}\\ &=& \sum_\limits{j=0}^{n-1}\frac{\left(-1\right)^j{n-1\choose j}}{1-\left(\frac{5}{6}\right)^{j+1}}\\ \end {eqnarray}