No demostrable unprovability

Question

En general, las conjeturas de matemáticas resueltos por la prueba, la refutación, o la prueba de que no son ni demostrable ni disprovable.

Es posible que algunos conjeturas que no pueda ser resuelta en alguna de estas formas? Es decir, hay declaraciones que son independientes de, digamos, $\mathrm{ZFC}$, pero no se puede probar independiente?

Answer 1

Hay siempre en aumento de la fuerza, en relación a una determinada teoría, para demostrar que algo es improbable en esa teoría. Se sigue de los teoremas de incompletitud de que para que una lo suficientemente fuerte y efectiva la teoría de la $T$ (es decir ZFC), si $T$ demuestra "$\phi$ no es comprobable en $T$" por una frase $\phi$, $T$ demuestra $\text{Con}(T)$ $T$ es inconsistente.

Así que cada vez que queremos demostrar "$\phi$ no es comprobable en $T$", tenemos que hacerlo por medios no formalizable en $T$. Podemos añadir una suposición como $\text{Con}(T)$, o podemos extender $T$ en otras formas, por ejemplo si $T$ es la aritmética de Peano podríamos demostrar la independencia resultado en ZFC.

Por lo tanto la forma de saber que una frase para ser independiente de ZFC es la demostración de que la independencia de algunos de los más fuertes de la teoría. Así, mientras que puede haber declaraciones independiente de ZFC que aún no hemos probado son independientes de ZFC, no sabremos que son independientes, así que no va a ser capaz de dar ejemplos concretos de la pregunta.

Es posible dar un montón de ejemplos de las teorías particulares $S$ ampliación de ZFC, y penas de $\phi$ independiente de ZFC, por lo que el $S$ no puede demostrar que $\phi$ es independiente de ZFC. La forma más fácil es tomar $\phi$ $\text{Con}(S)$ para algunos la teoría de la $S$, cuya consistencia no es demostrable en ZFC, por ejemplo, dejando $S$ ser ZFC además de la existencia de un cardinal medible. Yo estaría interesado en ver si los otros ms responden pueden dar más ejemplos naturales.