Valor de logaritmo de número negativo

Question

¿Por qué el valor logarítmico del número negativo no puede definirse? ¿Hay alguna razón especial?

Answer 1

La pregunta es buena y ha motivado y motivado (y proporcionado ejemplos para) desarrollos significativos en la comprensión de funciones complejas (en lugar de reales).

Reflexionen, por ejemplo, con$r \in \mathbb Z, y \in \mathbb R$:$$e^{i\pi}=e^{3i\pi}=e^{(2r+1)i\pi}=-1$ $

Si$y=\ln x$ entonces

PS

PS

Esto muestra que el logaritmo como una función real no cuenta toda la historia, y tan pronto como te mueves a los números complejos, la situación se vuelve mucho más interesante.

Answer 2

Hay algunos 'problemas' con logaritmos que puede ayudar a entender cómo los argumentos negativos suponen un problema.

Para evitar malentendidos acerca de lo que estamos hablando, vamos en primer lugar (y estoy de acuerdo en) algunas nociones básicas:

• la BASE del logaritmo no juega un papel en su pregunta: 2Log(x) y 6Log(x), por ejemplo, sólo se diferencian por un factor de escala y cualquier consideraciones acerca de los argumentos negativos para 2log(x) se aplican por igual a 6log(x). Para la discusión, es más conveniente para recoger la NATURAL logaritmo, que tiene base e; convencionalmente se denota ln(x) o, a veces, log(x), es decir, sin que se indique la 'base'.
• ln(x) es la inversa de la función exponencial exp(y), es decir, exp(ln(x)) = x y ln(exp(x)) = x.
• exp() ln() tomar no sólo argumentos enteros, pero todos los reales, y - importante aquí - también números complejos. Los valores de la función de sí mismos también pueden ser valores complejos. Mientras que el ln () es la inversa-de-exp() es una carrera de la fábrica de argumentos reales, la generalización de números complejos trae algunos problemas, como veremos en breve.
• Un número complejo c se puede escribir como c = Re + i*Im, donde Re e Im son las partes real e imaginaria, respectivamente (cada uno con un valor real), y i=sqrt(-1): la unidad de base a lo largo del eje imaginario en el plano complejo, de la misma manera que 1 es la unidad base a lo largo del eje real.
• La 'descomposición' "Re + i*Im" podría ser dicho para expresar c en coordenadas cartesianas, para dar la imagen de un (complejo) número de como un punto en una de las 2 dimensiones espacio- el 'plano complejo - en el que la los ejes son la parte real e imaginaria del eje y Re e Im son los coeficientes de las "punto" c a lo largo de estos ejes.
• Más conveniente para nuestra presente discusión es para expresar c - sigue siendo el mismo punto en el 2-dimensional de "plano complejo" - en coordenadas POLARES: c = r*exp(i*), donde r es la distancia de c a la de origen, y es un el ángulo que el vector (de origen c) se hace con el positivo el eje x (aquí: el eje Real), contando en sentido antihorario a partir de la cero a 2*pi. Tomar un valor fijo de r; entonces, al aumentar el ángulo de una de de cero a 2*pi puedes describir un círculo alrededor del origen, con radio r, a partir de la eje x positivo, y procediendo en sentido antihorario hasta que estamos de vuelta de nuevo a donde empezamos. (exp(i*) puede ser escrita como cos(a) + i*sin(un). De hecho, este es el camino para cambiar de ida y vuelta entre el 'cartesiano' y el 'polar' formas de expresar un número complejo.)

Teniendo esto fuera del camino, vamos a echar un vistazo más de cerca a la observación acerca de que atraviesa un círculo, correspondiente a aumentar el ángulo de una. Lo happans si aumentamos el ángulo de un más allá de 2*pi? No hay problema, simplemente seguimos en el mismo círculo antes de mirar el 'cos(a) + i*sin(a) de la expresión para verificar que usted va a obtener los mismos valores para a y para a+2*pi.

Aquí, nos encontramos con un problema, sin embargo, cuando se plantea en el hecho de que ln() y exp() son el inverso uno del otro. Vamos

y = exp(i*a) = exp(i*(a+2pi)) 

entonces, porque ln() y exp() son la inversa de cada una de las otras, tenemos:

ln(y) = ln(exp(i*a)) = i*a

pero también

ln(y) = ln(exp(i*(a+2pi)) = i*(a+2pi)

y luego, por supuesto, ln(y) tiene un número infinito de valores i*(a+k*pi), donde k puede ser cualquier entero positivo o negativo!

Obviamente, no es "útil" para usar el logaritmo en los cálculos para tener varios valores como hemos demostrado desde su inversa a-exp propiedad. Dejando de lado la interesante matemáticas en torno a este multi-valuadas aspecto, estamos de acuerdo en DEFINIR ln() - cuando tratamos de los cálculos y de la fórmula y así, como un SOLO valor. Para esto, tenemos que hacer una elección y la convencional opción es dejar que ln(i*) sólo tienen valores de pi a través de +pi. Por supuesto, debe ser un 'intervalo' de la 2*pi "ancho". Afirmar lo mismo de otra manera, sin ninguna mención de los logaritmos: estamos de acuerdo en que un punto en el plano complejo, si está escrita en coordenadas polares, tiene un ángulo de un entre -pi y + pi (aunque, de nuevo, el mismo punto puede ser descrito por la adición de cualquier múltiplo de 2pi para el ángulo). La "elección" para el logaritmo de su valor único valor, no es del todo arbitraria, por el camino, así que no es realmente 'sólo convención': estaríamos en una posición incómoda si la ln con argumentos complejos, no coincidiría con el ordinario ln() con argumentos reales tan pronto como el complejo argumento pasa a ser "sólo un verdadero'. De hecho, "sabemos" que ln(e)=1 y 1+2pi ,o 1+4pi, ...

No hemos terminado todavía con nuestro logaritmo. Considere de nuevo el círculo en el plano complejo, ahora felizmente el confinamiento de los puntos en los que tienen un ángulo (llamado "el (principal) argumento" de los de punto) entre -pi y +pi, y por lo tanto el ln(x) en estos puntos en el (r=1: unidad-)círculo de tener valores de i*pi a +i*pi.

Centrarse en atravesar ese círculo y se acerca a la NEGATIVA del eje x (eje real) desde arriba, es decir, el ángulo de ser un poco menos de la pi y, a continuación, la convergencia a la pi. Al llegar a la negativa del eje x, el ángulo se ha convertido en pi y el ln(x) se ha convertido en i*pi.

Ahora, hacer la misma cosa desde abajo: comience con un ángulo un poco mayor que el de-pi y dejar que disminuir a -pi. Al llegar a la negativa del eje x, el ángulo se ha convertido -pi y ln(x) se ha convertido en -i*pi.

Así, este multi-valuadas problema aún no ha sido totalmente erradicada: tenemos una ambigüedad en el eje negativo x restante. Cuando se recorre el círculo a través de la negativa del eje, el ángulo saltos de +pi -pi, y ln(x) salta desde la i*pi a -i*pi. Entonces, ¿qué es el valor en exactamente el negativo del eje? Nosotros "resolver" la pregunta por "elegir" el positivo de la variedad, es decir, ln(-1)=+i*pi.

Llegamos a dos conclusiones:

En primer lugar, hay una discontinuidad para el ln () los valores en el eje negativo x cuando se cruza esa línea. Esto es válido para TODOS los valores del eje (nuestra discusión hasta ahora tuvo siempre r=1, es decir, la unidad de círculo, pero por supuesto que puede tener cualquier radio - pequeñas y grandes círculos - y siempre tienen el mismo problema). Para esta discontinuidad, que la negativa del eje x es, por logaritmos, llamado "la corte" en el plano complejo.

Segundo, ln(x) tiene un valor negativo de x real, es decir, los puntos en el eje negativo x en el plano complejo, pero es de valor (para r=1) +i*pi, que es un número complejo y no un número real. Así que, cuando usted dice que ln(x) no está definida para x negativo, sería más exacto decir que su valor es complejo y por lo tanto no tiene un valor REAL que usted puede ser flexible pero menos correctamente - formular como "no definido ( ... ) en el real de los valores del mundo)".

Wikipedia tiene un montón de matemática páginas, también en logaritmos. Por ejemplo: http://en.wikipedia.org/wiki/Logarithm .

Answer 3

En el sistema de números reales, no se puede definir porque$a^x$ para reales positivos$a$ y reales arbitrarios$x$ nunca es negativo. Como el logaritmo es el inverso de esta operación (wrt x), no existe para entradas negativas.