Fuerza sobre un dipolo eléctrico o magnético.

Question

Las fórmulas para la fuerza en un dipolo eléctrico y la fuerza en un dipolo magnético parecen estar estrechamente relacionadas:

PS

PS

donde$$\mathbf{F}_{e} = (\mathbf{p} \cdot \mathbf{\nabla}) \mathbf{E}, $ es el momento dipolo eléctrico y$$ \mathbf{F}_{m} = \mathbf{\nabla}(\mathbf{m} \cdot \mathbf{B}) $ es el momento dipolo magnético.

Sin embargo, no podemos reescribir$\mathbf{p}$ generalmente como$\mathbf{m}$, por lo que estas dos fórmulas no son exactamente análogas. ¿Por qué el$\mathbf{F}_e$ debe ser operado por$\mathbf{\nabla} (\mathbf{p} \cdot \mathbf{E})$, pero el$\mathbf{m}$ no debe ser operado? ¿Qué diferencia fundamental entre$\nabla$ y$\mathbf{p}$ causa esto?

Answer 1

Son los mismos (al menos en la estática límite). El uso de la regla de $\vec a \times (\vec b \times \vec c) = \vec b (\vec a \vec c) - \vec c (\vec a \vec b)$ uno puede escribir: $$\vec F_m = \nabla (\vec m \cdot \vec B) = \vec m \times (\nabla \times \vec B) + (\vec m \cdot \nabla)\vec B.$$ El primer término es cero, como $\nabla \times \vec B = \frac 1 {c^2} \partial_t \vec E + \mu_0 \vec j$ y

1. Estas ecuaciones sólo se mantiene en la cuasi-estático caso de todos modos (es decir, ignoramos los efectos de la radiación, lo que equivale a aproximar $\frac 1 {c^2} \partial_t \vec E \approx 0$),

2. El $\vec B$ en esta ecuación es en realidad el campo magnético externo (no incluyendo el campo del dipolo que es divergente en el dipolo de la posición), por lo tanto, el término fuente, $\vec j$ será cero.