Demuestra que$\hat{\theta}$ no es minimax.

Question

Deje $\hat{\theta}$ ser imparcial estimador de un parámetro desconocido $\theta\in\mathbb{R}$. Asumiendo $\theta\neq 0$ tenemos la siguiente función de pérdida $$L(\theta,a) = \dfrac{(a - \theta)^2}{\theta^2}$$

Ejercicio: Supongamos que $0\leq R(\theta,T) <\infty$ para cualquier estimador $T$. Mostrar que $\hat{\theta}$ no es minimax.

Solución: consideramos que un estimador $T = c\hat{\theta}$. En este caso la función de riesgo está dado por $$R(\theta, c\hat\theta) = \operatorname{E}_\theta\bigg[\dfrac{(c\hat\theta - \theta)^2}{\theta^2}\bigg] \\= (1-c)^2 + c^2R(\theta,\hat\theta)$$

donde el segundo término se desvanece debido a $R(\theta, \hat\theta) = 0$, como $\hat\theta$ es imparcial. Buscamos una constante $c$ tal que $$\sup_{\theta \in \mathbb{R}}R(\theta, c\hat\theta) < \sup_{\theta\in\mathbb{R}}R(\theta, \hat\theta),$$

que es equivalente a \begin{equation}\sup_{\theta\in\mathbb{R}}R(\theta, \hat\theta) > \dfrac{(1-c)^2}{1-c^2} = \dfrac{1-c}{1+c} =:g(c).\tag{1}\end{equation} Desde $g:[0,1]\to[0,1]$ es continua y decreciente, $(1)$ tiene para todos los $c\in(0,1)$ si $\sup_\theta R(\theta,\hat\theta_n) > 1.$ Si $\sup_\theta R(\theta,\hat\theta_n) \leq 1$, entonces existe un $c^{*}$ tal que $(1)$ tiene para todos los $c\geq c^{*}$.

Lo que no entiendo acerca de esta solución:

Tenemos que $R(\theta, \hat\theta) = 0$ desde $\hat\theta$ es imparcial, y $(R,c\hat\theta) = c^2 - 2c + 1$, como se indica en la solución. Ahora, $c^2 -2c + 1 \geq 0,$ así que no hay $c^{*}$ tal que $R(\theta, c\hat\theta) < R(\theta, \hat\theta).$ Obviamente me estoy perdiendo algo, como no entiendo el subíndice $n$ que es usado en el último par de líneas en la solución. A mí me parece que, dado que en esta solución $R(\theta,\hat\theta)$ puede ser mayor que cero, $R(\theta,\hat\theta)$ depende de $\theta$.

Pregunta: Es la solución correcta? Si es así; ¿qué hay de malo con mi razonamiento? ¿Cómo puede el $R(\theta, \hat\theta)> 0$?

Gracias!

Answer 1

Primero de todo: si $R(\theta, \hat{\theta}) = 0$, entonces usted tiene un estimador perfecto y, por supuesto, es minimax. De alguna manera, el libro es malo, no tomando en cuenta esta posibilidad. Bajo la suposición de que $R(\theta, \hat{\theta}) > 0$ el razonamiento en el libro parece válida, excepto la cláusula 'en la que el segundo término se desvanece debido a $R(\theta, \hat{\theta}) = 0$ as $\hat{\theta}$ es imparcial'. Tenga en cuenta que la secuela no uso que el segundo término se desvanece, toda la apariencia de $1 - c^2$ proviene de que no se desvanecía.

Ahora a tu pregunta: ¿cómo puede $R(\theta, \hat{\theta}) > 0$? No estoy seguro, pero debe tener algo que ver con lo siguiente.

$\hat{\theta}$ ser imparcial significa que $\mathbb{E}\hat{\theta} = \theta$. Esto no dará automáticamente la $\mathbb{E}\hat{\theta}^2 = \theta^2$ (de hecho, la diferencia de $\mathbb{E}\hat{\theta}^2 - \theta^2$ puede ser reescrita como $\mathbb{E}\hat{\theta}^2 - (\mathbb{E}\hat{\theta})^2$, lo que famoso es igual a $Var(\hat{\theta})$, mostrando que es no negativa). Ahora si $\mathbb{E}\hat{\theta}^2 = q\theta^2$ para algunos la relación de $q \geq 1$ (dependiendo $\theta$ en maneras que no tenemos control), la función de riesgo se reduce a $R(\theta, \hat{\theta}) = q - 1$, lo que puede, pero no necesita ser igual a $0$.

Así que esto no es una respuesta completa: puedo argumentar por qué debemos dejar abierta la posibilidad de $R(\theta, \hat{\theta}) \neq 0$, incluso en el imparcial del caso, pero de alguna manera el libro de los usos que realmente tenemos $R(\theta, \hat{\theta}) > 0$. Estoy bastante perplejo cómo concluir que, en ausencia de más información.

AÑADIDO: creo que tengo una idea de lo que forma esta información adicional se pueden tomar. Puedo imaginar que tenemos los datos extraídos de algunos de distribución dependiendo $\theta$ y, a continuación, calcular $\hat{\theta}_n$ basado en la primera $n$ puntos de datos. Si la distribución de los puntos de datos en sí mismos no son cero, la varianza y el cálculo de $\hat{\theta}$ realmente utiliza los datos de una no-forma trivial, a continuación, $\hat{\theta}$ tendrá positiva de la varianza (y, por tanto, un valor positivo de $q$) así.