Pasar de la inducción a la $\infty$

Question

De alguna manera, la operación de pasar al límite después de haber demostrado que algo es cierto por inducción para cada número natural $n$ me preocupa cada vez. Sé que hay casos en los que no se puede deducir que una afirmación sea cierta por $\infty$ si se cumple para cada $n \in \mathbb{N}$ y a veces se puede.

He aquí un caso en el que no estoy seguro de que mi argumento sea sólido:

Supongamos que $X$ es un Espacio de Banach con norma $\| \cdot \|$ . Me gustaría demostrar que la desigualdad del triángulo para combinaciones lineales finitas se extiende a las series. Así, por inducción y por propiedades de la norma tenemos

$$\begin{equation} \bigg\|\sum^n_{k = 1} a_k \bigg\| \;\;\leq \;\;\sum_{k = 1}^n \|a_k\| \end{equation}$$

se cumple para cada número natural $n$ . Ahora sostengo que puedo pasar inmediatamente al límite y deducir directamente que

$$\begin{equation} \bigg\|\sum^\infty_{k = 1} a_k\bigg\| \;\;\leq \;\;\sum_{k = 1}^\infty \|a_k\| \end{equation} $$

debido a una propiedad de las secuencias de números reales, que dice que si $(c_n)_{n \in \mathbb{N}}$ y $(d_n)_{n \in \mathbb{N}}$ son secuencias de números reales tales que

\begin{equation} 0 \leq c_n \ \leq d_n \quad \text{ for all } n \in \mathbb{N}. \end{equation}

De ello se deduce que

\begin{equation} \lim_{n \to \infty} c_n \leq \lim_{n \to \infty} d_n \end{equation}

(Puedo utilizarlo tomando $c_n = \| \sum_{k = 1}^n a_k \|$ y $d_n = \sum_{k = 1}^n \|a_k\|$ )

¿Es correcto este razonamiento? No estoy seguro

Por ejemplo, uno de los problemas que tengo con mi argumento es el siguiente:

Cuando reemplazo $n$ por $\infty$ en la expresión $\|\sum_{k = 1}^n a_k \|$ entonces puede que haga una afirmación mal definida, porque $\|\sum_{k = 1}^\infty a_k \|$ puede no existir, mientras que la expresión $\sum_{k = 1}^\infty \|a_k\|$ siempre tiene un valor en $[0,\infty]$ (ya que $s_n = \sum_{k = 1}^n \|a_k\|$ es una secuencia monótona).

¿Es un problema? ¿O es la declaración $\|\sum_{k = 1}^\infty a_k \| \leq \sum_{k = 1}^\infty \|a_k\|$ simplemente vacuamente cierto en este caso?

Si es un problema, ¿cómo puedo rectificar el argumento?

Answer 1

Lo que tu argumento muestra es que, para cualquier secuencia $a_k$ en $X$ siempre tenemos $$\bigg\|\sum_{k=1}^na_k\bigg\|\leq\sum_{k=1}^n\|a_k\|$$ para cualquier $n$ y, por lo tanto $$\lim_{n\to\infty}\bigg\|\sum_{k=1}^na_k\bigg\|\leq\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^n\|a_k\|\;\overset{\text{ by definition }}{=}\;\sum_{k=1}^\infty\|a_k\|$$

Pero todavía tenemos que demostrar que, para cualquier convergente serie $\sum_{k=1}^\infty a_k$ en $X$ , $$\bigg\|\sum_{k=1}^\infty a_k\bigg\|=\lim_{n\to\infty}\bigg\|\sum_{k=1}^na_k\bigg\|$$ para concluir que $$\bigg\|\sum_{k=1}^\infty a_k\bigg\|\leq \sum_{k=1}^\infty\|a_k\|.$$ (Por supuesto, si $\sum_{k=1}^\infty a_k$ no converge, entonces no tiene sentido hablar de su norma en primer lugar, así que también podemos suponer que converge).

El hecho de que $$\bigg\|\sum_{k=1}^\infty a_k\bigg\|=\lim_{n\to\infty}\bigg\|\sum_{k=1}^na_k\bigg\|$$ se deduce de la continuidad de la función norma $\|\cdot\|:X\to\mathbb{R}$ . Dejar $$S_n=\sum_{k=1}^n a_k,$$ tenemos que $$\sum_{k=1}^\infty a_k=\lim_{n\to\infty} S_n.$$ Para cualquier espacio topológico $A$ y $B$ función continua $f:A\to B$ y secuencia convergente $x_n\to x$ en $A$ tenemos que $f(x_n)\to f(x)$ en $B$ . Así pues, dado que la función de norma $\|\cdot\|$ es continua, obtendremos que $$\|\lim_{n\to\infty} S_n\|=\lim_{n\to\infty}\|S_n||$$ o en otras palabras $$\bigg\|\sum_{k=1}^\infty a_k\bigg\|=\lim_{n\to\infty}\bigg\|\sum_{k=1}^na_k\bigg\|.$$

La razón por la que la función norma es continua es simplemente que la propia norma es lo que define la topología en $X$ . Es decir, la definición de $x_n\to x$ en $X$ es que $\|x_n-x\|\to 0$ en $\mathbb{R}$ y porque el desigualdad del triángulo invertido nos dice que $$\big|\|x\|-\|x_n\|\big|\leq\|x_n-x\|$$ tenemos que $$\lim_{n\to\infty}\big|\|x\|-\|x_n\|\big|=0$$ y por lo tanto $\lim_{n\to\infty}\|x_n\|=\|x\|$ .

Answer 2

El problema desaparece en cuanto se formula correctamente lo que se quiere demostrar. La formulación correcta es: Si $\sum_{k=1}^\infty a_k$ converge entonces $\|\sum_{k=1}^\infty a_k\|\le \sum_{k=1}^\infty \|a_k\|$ . El argumento preciso para demostrar que este resultado es cierto se obtiene siguiendo la definición de serie como límite de sumas parciales y utilizando la desigualdad del triángulo finito, para luego pasar al límite (básicamente como indicas arriba). Pero ahora no tienes que preocuparte de que la desigualdad "se mantenga vacía" (un término peligroso de usar).

Además, un comentario general sobre cómo se hacen las pruebas, o más bien cómo no se hacen. Pasar al límite no significa sustituir $n$ por $\infty$ . Significa utilizar teoremas sobre (en el caso anterior desigualdades entre elementos de secuencias y sus) límites. Sustituyendo $n$ por $\infty $ no tiene sentido. Esta podría ser la razón por la que te sientes incómodo haciéndolo.

Answer 3

Nota: Estoy asumiendo que estas sumas existen de hecho. Si no es así, la afirmación carece de sentido.

No está deduciendo nada sobre la $\infty$ que ni siquiera está bien definido. La declaración $$\left\|\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\right\|\leq \sum\limits_{k=1}^\infty \|a_k\|$$ es definido como sigue:

Sea $x$ es el único número real tal que para todo $\epsilon>0$ existe algún $N\in\mathbb N$ tal que $$n\geq N\implies \left\|x-\sum\limits_{k=1}^n a_k\right\|<\epsilon$$ y que $y$ es el único número real tal que para todo $\epsilon>0$ existe algún $N\in\mathbb N$ tal que $$n\geq N\implies \left\|y-\sum\limits_{k=1}^n \|a_k\|\right\|<\epsilon.$$ Entonces $x\leq y$ .

Esto no hace referencia a $\infty$ . De hecho, funciona perfectamente para demostrar que $$\left\|\sum\limits_{k=1}^n a_k\right\|\leq \sum\limits_{k=1}^n \|a_k\|$$ para todos $n$ ya que esto significa que para cualquier $\epsilon>0$ tenemos algunos $N$ tal que si $n\geq N$ entonces $$x\leq y+\|x-y\|\leq y+\left\|\sum\limits_{k=1}^n a_k\right\|-\sum\limits_{k=1}^n \|a_k\|-\left\|x-\sum\limits_{k=1}^n a_k\right\|-\left\|y-\sum\limits_{k=1}^n \|a_k\|\right\|<y+2\epsilon$$ por lo que debemos tener $x\leq y$ .

Answer 4

En primer lugar, permítame mencionar que es bueno que tenga dudas, porque algo que es cierto para cada paso finito no tiene por qué ser cierto "en $\infty$ "; es decir, la inducción te dice algo sobre "todo estadio finito", pero no necesariamente algo en el caso "infinito". El ejemplo estándar es que podemos demostrar que para cada $n$ el conjunto de los números naturales menores o iguales que $n$ es finito; pero esto ya no es cierto si "dejamos que $n$ ir hasta el infinito".

Además, no se puede pasar de $c_n\leq d_n$ a $\lim\limits_{n\to\infty}c_n\leq\lim\limits_{n\to\infty}d_n$ . Por un lado, uno (o ambos) de los límites puede no existir.

Si ambos existen límites, usted puede deducir el resultado. He aquí una forma de hacerlo:

Supongamos que $c_n\leq d_n$ para todos $n$ y que cada uno de $c=\lim\limits_{n\to\infty}c_n$ y $d=\lim\limits_{n\to\infty}d_n$ existe en los reales extendidos (permitimos $\infty$ y $-\infty$ como límites). Afirmo que $c\leq d$ .

En efecto, supongamos que $d\lt c$ . Entonces existe $\epsilon\gt 0$ tal que $d+2\epsilon\lt c$ . Desde $\lim\limits_{n\to\infty} d_n = d$ existe $N\gt 0$ tal que para todo $n\geq N$ , $|d_n-d|\lt\epsilon$ . En particular, $d_n\in(d-\epsilon,d+\epsilon)$ . Por lo tanto, para todos $n\geq N$ tenemos $c_n\leq d_n\lt d+\epsilon\lt c-\epsilon$ Así que $|c-c_n|\gt \epsilon$ para todos $n\geq N$ . Esto contradice el hecho de que $\lim\limits_{n\to\infty}c_n=c$ . La contradicción surge de la suposición de que $d\lt c$ por lo que concluimos que $c\leq d$ .

A partir de ahí, puesto que $d_n = \sum_{i=1}^n\lVert a_i\rVert$ es una sucesión creciente, converge (en los reales extendidos). Por tanto, siempre que $c_n=\lVert\sum_{i=1}^na_i\rVert$ converge, puedes concluir tu desigualdad.

De hecho, se puede ampliar a lo siguiente:

Teorema. Supongamos que $\{c_n\}$ y $\{d_n\}$ son secuencias de números reales tales que $c_n\leq d_n$ para cada $n$ . T $$\limsup c_n \leq \limsup d_n.$$

Prueba. Supongamos que $\limsup d_n = d \lt c =\limsup c_n$ . Desde $\limsup c_n$ es la suma de todos los puntos límite de las sucesiones de $c_n$ existe un punto límite $\ell$ , $d\lt \ell\leq c_n$ y una subsecuencia $c_{n_k}$ de $\{c_n\}$ tal que $\lim\limits_{k\to\infty}c_{n_k}=\ell$ . En particular, existe un $\epsilon\gt 0$ tal que para todo lo suficientemente grande $k$ tenemos $$d+\epsilon \lt c_{n_k}\leq d_{n_k}.$$ Por otro lado, $\{d_{n_k}\}$ no tiene límite (en cuyo caso tiene una subsecuencia que converge a $\infty$ ) o contiene una subsecuencia convergente. En cualquier caso, $\{d_{n_k}\}$ tiene un punto límite mayor que $d+\epsilon$ Así que $\limsup d_{n_k}\geq d+\epsilon\gt d$ . Pero esto da $d\lt \limsup d_{n_k}\leq \limsup d_n = d$ una contradicción.

Del mismo modo, podemos concluir que $\liminf c_n \leq \liminf d_n$ bajo las mismas hipótesis.

Answer 5

Y suponiendo que $\sum\limits_{k=1}^\infty\|a_k\|$ converge, $\|\sum\limits_{k=1}^\infty a_k\|$ tiene sentido, ya que X es un espacio de Banach (y toda serie convergente absoluta es convergente).