Calcula un límite o prueba que no existe.

Question

¿Existen los siguientes límites? Calcúlelos o demuestre que no existen.

(una) $\lim_{x\to 1}\frac{x^2-x}{2x^2-x-1}$
(b)$\lim_{x\to 1}\frac{|x-1|}{2x^2-x-1}$

Para (a) es bastante fácil ver que el límite existe y es$\frac13$, es solo$\frac{x(x-1)}{(2x +1)(x-1)} =\frac{ x }{ 2x +1 }= \frac{1}{3}$.

Supongo que (b) no tiene límite, pero no puedo encontrar una manera de probarlo.

Answer 1

Para (b):

Tenga en cuenta que tenemos$|x-1|=x-1$ para$x\ge 1$ y$|x-1|=-(x-1)$ para$x\lt 1$.

Entonces, tienes$$\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{x-1}{(2x+1)(x-1)}$ $ y$$\lim_{x\to 1^-}\frac{|x-1|}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to 1^-}\frac{-(x-1)}{(2x+1)(x-1)}$ $

Answer 2

CONSEJOS:

una)

PS

segundo)

$$\lim_{x\to 1}\frac{x^2}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{(x-1)x}{x-1)(2x+1)}=\lim_{x\to 1}\frac{x}{2x+1}$ $$$\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{2x^2-x-1}=\lim_{x\to 1^+}\frac{\frac{1}{2x+1}|x-1|}{x-1}=\left(\lim_{x\to 1^+}\frac{1}{2x+1}\right)\left(\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{x-1}\right)=$ $

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Dejar $$\left(\frac{1}{2\cdot 1+1}\right)\left(\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{x-1}\right)=\left(\frac{1}{3}\right)\left(\lim_{x\to 1^+}\frac{|x-1|}{x-1}\right)$. Entonces $u=x-1$.

Entonces, como$\frac{|x-1|}{x-1}=\lim_{u\to 0^+}\frac{|u|}{u}$ de la derecha como$u\to 0$ de la derecha, tenemos eso:

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PS