Factoring simple de la red de Markov.

Question

Deje $X$ por la distribución conjunta de las variables aleatorias $A$, $B$, $C$, y $D$. Deje $(A \perp B) \mid (C, D)$ e $(C \perp D) \mid (A, B)$.

Entiendo que esta distribución debería factor más de los cuatro pares de camarillas.

$\Pr(X) = \frac{1}{Z}\phi_1(A,D)\phi_2(A,C)\phi_3(C,B)\phi_4(D,B)$

Sin embargo, me gustaría ver cómo, a partir de con $\Pr(X)$, podríamos factor de la distribución adecuada de funciones. He estado golpeando mi cabeza contra este la mayor parte del día, por lo que cualquier sugerencias apreciado.

Answer 1

Usted puede utilizar el canónica de la parametrización de la prueba de Hammersley-Clifford. Copia de las notas de Sansón Cheung, se define un factor para todos los subconjuntos de G: $$ f_s(X_s = x_s) = \prod_{z\subconjunto s}P(X_z=x_z, Z_{G\barra invertida=0})^{-1^{|s|-|z|}} $$

Se puede demostrar que los $\prod_{s\subset G}f_s(X_s) = P(X)$, debido a que el exponente hace que todos los subconjuntos $z$ de % de $s$ cancelar, excepto cuando se $z = X$. También puede mostrar que $f_s(X_s) = 1$ si $s$ no es una camarilla.

Para sus cuatro nodo de la red, asumiendo Bernoulli RV, usted toma una asignación por omisión como $(0,0,0,0)$. Por eso, $f_{\{\}} = P(0, 0, 0, 0)$. Entonces, por ejemplo, $f_{\{A\}}(1) = \frac{P(1, 0, 0, 0)}{P(0,0,0,0)} $ e $f_{\{A, B\}}(1, 1) = P(1, 1, 0, 0)\frac{1}{P(1,0,0,0)}\frac{1}{P(0,1,0,0)}P(0,0,0,0) $.

Por desgracia, no es tan simple como comparar la factorización de la regla de la cadena para la parametrización desea :-)