¿Grupo fundamental de una curva algebraica compleja residualmente finita?

Question

¿Es el grupo fundamental analítico de una curva algebraica compleja suave (considerada como una superficie de Riemann) residualmente finito?

Answer 1

Sí. Recordemos que topológicamente tal superficie es una $g$ -toro de agujeros menos $n$ puntos. Excepto en los casos $(g, n) = (1, 0), (0, 0), (0, 1), (0, 2)$ dicha superficie, llámala $S$ tiene característica de Euler negativa, por lo que por el teorema de uniformización su cobertura universal es el semiplano superior $\mathbb{H}$ . Dado que la acción de $\pi_1(S)$ en $\mathbb{H}$ por transformaciones de cobertura es una acción por mapas biholomorfos, $\pi_1(S)$ se incrusta en $\text{PSL}_2(\mathbb{R})$ . Y cualquier subgrupo finitamente generado de $\text{PSL}_2(\mathbb{R})$ es residualmente finito; el argumento es casi idéntico al argumento de que cualquier grupo lineal finitamente generado es residualmente finito.

Los casos excepcionales son fáciles de verificar individualmente.