Convergencia de$\sum \frac{1}{a_n}$ dada la convergencia de$\sum a_n$

Question

Si sabemos que$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge,

¿Qué (si hay algo) se puede saber acerca de$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$?

Entiendo que la convergencia significa que la suma se suma a un número, así que esta es la declaración que he encontrado hasta ahora:

si el número$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge a es$< 0$ o$> 0$ entonces también converge$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$. de lo contrario, si el número$\sum_{n=1}^{\infty}a_n$ converge a$= 0$,$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{a_n}$ no converge.

Answer 1

Sugerencia: podría pensar en la serie para$\ln 2: \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$, que converge a un valor distinto de cero.

Answer 2

Tenga en cuenta que el OP pregunta "qué (si hay algo) se puede saber sobre ...". Si la$a_i > 0$, por la desigualdad media aritmética-armónica, $$(\sum_{n=1}^m a_n)/m \ge ((\sum_{n=1}^m 1/a_n)/m)^{-1}$$ or $$\sum_{n=1}^m 1/a_n \ge m^2/\sum_{n=1}^m a_n$$ We thus can get a lower bound on the sum, instead of an upper bound. If $\ sum_ {n = 1} ^ {\ infty} a_n$ converges, this shows that $\ sum_ {n = 1} ^ m 1 / a_n$ grows like $m ^ 2$.