¿Cuál es la definición de un grupo completamente en la lógica de predicados de primer orden?

Question

He visto la definición de un grupo en diferentes libros determinado de la siguiente manera:

Un grupo es un conjunto no vacío $G$ y una operación binaria $*$, que se denota por $(G,*)$ que satisface las siguientes propiedades:

1. Para cada $a$, $b$, y $c$ en $G$, $(a*b)*c=a*(b*c)$;
2. Existe $e$ en $G$ tal que para cada $a$ en $G$, $a*e=a$;
3. Para cada $a$ en $G$ existe $b$ en $G$ tal que $a*b=e$.

Me gustaría limpiar esto y ponerlo en la lī ogica correctamente. No he visto esta hecho en cualquier libro. Cuando trato de hacer esto por mí mismo, me siento como abrir la caja de Pandora! Aquí es cómo he razonado acerca de esta importante definición:

Deje $G$ ser cualquier conjunto no vacío y forma el conjunto que contenga $G$ como el único elemento, $\{G\}$. Ahora vamos a $*$ ser el conjunto de todas las funciones de $G\times G$ a $G$, lo $*=\{\text{all functions } G\times G\rightarrow G\}$. A continuación, echaremos el producto Cartesiano de $\{G\} \times * = \{ (G,*_1), (G,*_2), (G,*_3),\dots\}$. Así que, básicamente, tenemos un conjunto de pares ordenados donde cada par ordenado se compone de un conjunto y una función. Parece que estamos interesados en si o no a cada par ordenado satisface las propiedades antes mencionadas. En realidad, parece que para un determinado par ordenado $(G, *_n)$ a ser un grupo, sería sólo depende de cómo se define la función. Dependiendo de la cardinalidad de $G$, hay muchas funciones de $G\times G\rightarrow G$, y sabemos que no todos estos grupos, sin embargo, parece que $(G,*)$ es el grupo si $*$ satisface las propiedades antes mencionadas.

Así, he tratado de formular la ley de asociatividad utilizando sólo los pares ordenados. Aquí es lo que he venido con:

Para cada $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ en $G$ ($*$ es asociativa fib [$((a,b),x)$ en $*$ e $((x,c),y)$ en $*$ fib $((b,c),z)$ en $*$ e $((a,z),y)$ en $*$])

Sé que esto se ve feo, pero desde $*$ es en realidad un conjunto de pares ordenados donde la primera coordenada es también un par ordenado, traté de traducir Para cada $a$, $b$, $c$ en $G$, $(a*b)*c=a*(b*c)$ estrictamente en una declaración con los pares ordenados.

De todos modos, no estoy seguro acerca de esta formulación. Por ejemplo, cuando queremos comprobar si una relación $R$, en $S\times S$ es simétrica, podemos decir que por cada $a$, $b$ en $S$, $R$ es simétrica iff $(a,b)$ en $R$ implica $(b,a)$ en R. La diferencia es técnicamente $*$ es una relación en $(G\times G)\times G$ y para poner a prueba la asociatividad me dijo que para cada $a$, $b$, $c$, $x$, $y$, $z$ en $G$. Puedo hacer esto ya que por simetría, $R$ fue una relación en $S\times S$ donde los dos conjuntos son iguales. En $(G\times G)\times G$ los dos conjuntos no son iguales, así que no sé si esto es correcto.

Además de la cuestión con la asociatividad, no estoy seguro de cómo formular las dos últimas reglas de los grupos en la lī ogica y también creo que debemos incluir algo sobre el cierre, tal vez.

Solo quiero tener una larga declaración en la lī ogica de que correctamente se da la definición de un grupo incorpora todo lo que en la versión en inglés de arriba.

Cualquier ayuda se agradece. Gracias.

Answer 1

El primer orden de la teoría de grupo se describe como sigue:

El lenguaje de la teoría de grupos es $\mathfrak{L} = \{\cdot, e\}$ donde $\cdot$ es una función binaria símbolo y $e$ es una constante símbolo.

El primer orden de teoría de la $T$ de teoría de grupos se componen de los siguientes axiomas :

1) $(\forall x)(e \cdot x = x \cdot e = x)$

2) $(\forall x)(\forall y)(\forall z)(x \cdot (y \cdot z) = (x \cdot y) \cdot z)$

3) $(\forall x)(\exists y)(x \cdot y = e)$

Una estructura en el lenguaje de $\mathfrak{L}$ es una tupla $(G, \cdot^G, e^G)$ donde $G$ es un conjunto, $\cdot^G$ es una función de $G \times G \rightarrow G$ e $e^G \in G$. Una estructura en el lenguaje de $\mathfrak{L}$ es un modelo de $T$, la Teoría de la Teoría de Grupo, si y sólo si $G$ satisface todos los axiomas de la $T$. Un $\mathfrak{L}$estructura $(G, \cdot^G, e^G)$ que es un modelo de $T$ se llama a un grupo.

Answer 2

Creo que la asociatividad puede ser formulado simplemente utilizar "conjunto teórico" nociones de esta manera:

$Let\space f \in \ast \space and \space G \space be \space a \space set.$

$(G, f)\space is \space associative \space\space iff \space\space \forall a,b,c \in G; f(G \times G) - \{f(a,(b,c))\} = f(G \times G) - \{f((a,b),c)\} % $

$Where \space f(x,y) \space is \space equivalent \space to \space an \space ordered \space pair \space ((x,y),z) \in f.$

Que es equivalente a:

$Let \space f \in \ast \space and \space G \space be \space a \space set.$

$f\space is \space associative \space\space iff \space\space \forall a,b,c \in G; f(a,(b,c)) = f((a,b),c) % $

O

$\forall a,b,c \in G; \space if \space \exists d,e \in G\space s.t. \space ((a,(b,c)),d) \in f \space and \space ((a,(b,c)),e) \in f \space then \space d = e. $

Su formulación me parece mal porque especifica que $\ast$ es un conjunto de funciones, es decir, sus elementos son conjuntos de pares ordenados. Entonces usted dice $((a,b),x)\space in \ast$. Pero $((a,b),x)$ no $\ast$, ya que implicaría que $\ast$ es un conjunto de pares ordenados. Yo no puedo ver cómo un conjunto de pares ordenados (los elementos de $\ast$) puede ser transformado en un par ordenado.

Los otros axiomas pueden ser formulados con la misma facilidad.

Perdóname si estoy diciendo algo totalmente ingenuo, o si tengo miscontrued de alguna manera lo que usted desea.