Deje $S$ ser un círculo con centro de $O$. Un acorde $AB$, no un diámetro divide $S$ en dos regiones $R_1$ e $R_2$ tal que $O$ pertenece a $R_2$. Deje $S_1$ ser un círculo con centro en $R_1$, tocando $AB$ a $X$ e $S$ internamente. Deje $S_2$ ser un círculo con centro en $R_2$, tocando $AB$ a $Y$, el círculo de $S$ internamente y que pasa por el centro de la $S$. El punto de $X$ se encuentra en el diámetro que pasa por el centro de la $S_2$ e $\angle YXO=30^\circ$. Si el radio de $S_2$ es 100, entonces ¿cuál es el radio de $S_1$?
He intentado hacer esto por más de una hora, pero ahora yo no puedo llegar a la respuesta correcta, que es de 60.
Después de algunas construcción y tomando el seno del ángulo dado conseguí $XY=100\sqrt3$ pero el radio del círculo está todavía fuera de su alcance.
Respuestas
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Desde $S_2$ toques $S$ internamente y pasa a través del centro de $S$, su radio tiene que ser la mitad que el de $S$. Así que desde $S_2$ tiene radio $100$, $S$ tiene radio de $200$.
Si un círculo toca una línea, el radio en el punto de contacto tiene que ser perpendicular a la línea. Esto nos dice que $X$, $Y$ y el centro de $S_2$ formar un $(30°,60°,90°)$ triángulo, con la $60°$ en el centro de la $S_2$. Por lo tanto, que el centro forma un triángulo equilátero con $O$ e $Y$, con una longitud de la arista de $100$.
Supongamos ahora algunas coordenadas. Voy a poner $O=(0,0)$ y asumir que $AB$ es horizontal, como en la figura en la pregunta. La altura de un triángulo equilátero es $\frac{\sqrt3}2$ de la longitud de la arista. Así que en este caso $Y=(50\sqrt3,-50)$, con la altitud como $x$ de coordenadas y la mitad de la longitud de la arista como $y$ coordinar hacia abajo. Desde $XYO$ es $(30°,30°,120°)$ triángulo isósceles, por simetría $X=(-50\sqrt3,-50)$. (Esto confirma la $\lvert XY\rvert=100\sqrt3$ que se encontró para sí mismo.)
Si usted escribe $C=(-50\sqrt3,-50-r)$ para el centro de la $S_1$, un círculo de radio $r$ alrededor de ese centro va a tocar $AB$. Así que ahora usted tiene que hacer es tocar $S$. Para lograr esto, usted desea $200=\lvert OC\rvert+r$ o
\begin{align*} 200-r &= \sqrt{(50\sqrt3)^2+(50+r)^2} \\ (200-r)^2 &= (50\sqrt3)^2+(50+r)^2 \\ 40{,}000 - 400r + r^2 &= 7{,}500 + 2{,}500 + 100r + r^2 \\ 30{,}000 &= 500r \\ r &= 60 \end{align*}
Divide el radio dado de$S_2$ por$100$. Si$O_2$ es el centro de$S_2$ y$M$ el punto medio de$XY$ entonces$$|O_2Y|=|O_2O|=|OY|=|OX|=1,\quad |OM|={1\over2},\quad |XM|=|MY|={\sqrt{3}\over2}\ .$$ It follows that the unknown radius $ r $ satisface$$2-\sqrt{{3\over4}+\left(r+{1\over2}\right)^2}=r\ ,$ $ el cual luego lleva a$r={3\over5}$.
Permítanme sugerir algo más sintético solución. Deje $T_1$ ser el punto de tangencia de los círculos $S_1$ e $S$. Entonces, por la propiedad básica de un punto de tangencia, puntos de $O, \, O_1$ e $T_1$ son colineales, donde $O_1$ es el centro de la $S_1$. Deje $M$ ser el punto medio de la $AB$. Dibujar el diámetro de la línea de $MO$ y deje que se cruzan círculo de $S$ a punto de $P$ en el lado de círculo $S_2$, es decir, $P$ es tal que $O$ está dentro del segmento de $MO$. Ahora, los puntos de $T_1, \, X$ e $P$ realmente son colineales. Observe también que $O_1X$ es paralelo a $OM$ ya que ambos de ellos son perpendiculares a $AB$ e lo $O_X$ es paralelo a $OP$. Desde $T_1, \,\, X, \,\, P$ son colineales, $T_1, \,\, O_1, \,\, O$ también son colineales y $O_1X$ es paralelo a $OP$, la siguiente relación se mantiene (también se puede pensar que los triángulos $T_1O_1X$ e $T_1OP$ son similares) $$\frac{T_1X}{T_1P} = \frac{T_1O_1}{T_1O} = \frac{O_1X}{OP}.$$ Desde $T_1O_1 = r = O_1X$ e $T_1O = 200 = OP$ el último ecuaciones se convierten en $$\frac{T_1X}{T_1P} = \frac{r}{200}$$ or if we express $r$ and notice that $T_1P = T_1X + XP$: $$r = \frac{200 \, \, T_1X}{T_1X + XP}$$ Deje $L_1$ e $L_2$ ser los puntos de intersección de la línea de $XO$ con círculo $S$, $L_1$ en el lado de la $S_1$ e $L_2$ en el lado de la $L_2$. Por la propiedad de un punto dentro de un círculo, $$T_1X \cdot XP = L_1X \cdot XL_2 = 100 \cdot 300 = 30000$$ lo $$T_1X = \frac{30000}{XP}$$ y por lo tanto $$r = \frac{200 \,\cdot \, 30000}{30000 + XP^2}$$ Por otro lado, por Pitágoras de identidad aplicado a la derecha en ángulo triángulo $XMP$ $$XP = \sqrt{XM^2 + MP^2} = \sqrt{XM^2 + (MO + OP)^2} = \sqrt{(50 \sqrt{3})^2 + (50+200)^2} = 100 \sqrt{7}.$$ Así $$r = \frac{200 \,\cdot \, 30000}{30000 + XP^2} = \frac{200 \,\cdot \, 30000}{30000 + (100\sqrt{7})^2} = 60.$$
