"Funciones de coordenadas" en la definición de la estructura de la gavilla de una variedad lisa

Question

He estado leyendo Bredon de la Topología y la Geometría recientemente; lo que es un excelente libro! Él define suave colectores de dos maneras distintas y, a continuación, se muestra que son de hecho equivalentes. El "no-estándar" de la definición es en términos de alguna gavilla-como "estructura funcional $F_X$" en el espacio subyacente $X$, la satisfacción de las siguientes propiedades: para cada conjunto abierto $U \subset X,$ hemos

1. $F_X(U)$ es una subalgebra de la álgebra de la real continua de las funciones con valores en $U$;
2. $F_X(U)$ contiene todas las constantes de las funciones;
3. $V \subset U, f \in F_X(U) \implies f|_V \in F_X(V)$;
4. $U = \bigcup U_{\alpha}$ e $f|_{U_{\alpha}} \in F_X(U_{\alpha})$ para todos los $\alpha \implies f \in F_X(U).$

Una de morfismos de funcionalmente estructurado espacios de $(X,F_X) \rightarrow (Y,F_Y)$ es un mapa de $\phi:X \rightarrow Y$ tal que $f \mapsto f \circ \phi$ porta $F_Y(U)$ a $F_X(\phi^{-1}(U))$.

A continuación, una suave $n$-manifold es un segundo contables, funcionalmente estructurado, espacio de Hausdorff $(M^n,F)$ que es localmente isomorfo a $(\mathbb{R}^n,C^{\infty}).$

Mi pregunta: para familiarizarme con la definición que he intentado el siguiente ejercicio:

Muestran que un segundo contables espacio de Hausdorff $X$, con una estructura funcional $F$ es $n$-colector $\iff$ cada punto en $X$ tiene un vecindario $U$ que no son funciones de $f_1,\ldots,f_n \in F(U)$ de manera tal que un valor real de la función de $g$ a $U$ es de $F(U) \iff$ existe una función suave $h(x_1,\ldots,x_n)$ de %de $n$ variables reales, tales que $g(p) = h(f_1(p),\ldots,f_n(p))$ por cada $p \in U.$

La única parte que no he sido capaz de completar es el "$\Longleftarrow$" de dirección. Es decir, dada la $n$ "coordinar las funciones de" $f_i$, y dado un punto de $x \in X$ y un vecindario $U \ni x$ I, han construido un morfismos $\phi:(U,F_U) \rightarrow (\phi(U),C^{\infty})$ través $\phi(x) = (f_1(x),\ldots,f_n(x)).$, Pero para la vida de mí, no veo cómo se podría demostrar que este es un isomorfismo.

Cualquier sugerencia hacia la respuesta sería muy apreciada!

Answer 1

La implicación $\Leftarrow$ usted está considerando es falso. El funcionalmente estructurado espacio de $(\mathbb{R},F)$ I se define aquí proporciona un contraejemplo. No es un suave colector sin embargo, se verifica la propiedad que usted menciona. Para cada $x\in\mathbb{R}$ que puede tomar cualquier intervalo abierto $I$ contiene $x$, y deje $f_{1}$ ser cualquier función en $F(I)$ (recordemos que $F(I)$ sólo consiste en constante funciones).

Si $g\in F(I)$, y dejamos $h=g$ tenemos que $h$ es suave, de 1 de variable real tal que $g(y)=h(f_{1}(y))$ para todos los $y\in I$.

Por otro lado, supongamos que existe una función suave de 1 variable real $h$ tal que para un continuo $g:I\rightarrow\mathbb{R}$ tenemos $g(y)=h(f_{1}(y))$ para todos los $y\in I$. Entonces a partir de la $f_{1}$ es constante, decir $f_{1}\equiv c\in\mathbb{R}$, obtenemos $g(y)=h(c)$ para todos los $y\in I$, es decir, $g\in F(I)$.

Si usted añadir otras hipótesis de que la $\phi$ es localmente invertible, entonces la implicación $\Leftarrow$ es cierto. Otra hipótesis podría funcionar también.

Otros enlaces a problemas en los que la sección de Bredon del libro son este, este y este.