¿Cómo demuestras que$\arcsin( \frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt {2-2x}})=\frac{\pi}{8} + \frac{1}{4} \arcsin x$?

Question

Tengo la tarea de demostrar que

$$ \ arcsin (\ frac {1} {2} \ sqrt {2- \ sqrt {2-2x}}) = \ frac {\ pi} {8} + \ frac {1} {4} \ arcsin x, \ left | x \ right | \ le 1 $$

No tengo ninguna idea de donde debería empezar.

¿Alguien puede ayudarme a resolverlo?

Answer 1

Dejar $\arcsin( \frac{1}{2} \sqrt{2-\sqrt {2-x}})=y$

$\implies-\dfrac\pi2\le y\le\dfrac\pi2$

y$\dfrac12\sqrt{2-\sqrt {2-x}}=\sin y$

$\implies2-\sqrt {2-x}=(2\sin y)^2$

Utilizando $\cos2A=2\cos^2A-1=1-2\sin^2A,$

$\sqrt {2-x}=2-4\sin^2y=2\cos2y$

$\implies x=2-(2\cos2y)^2=-2\cos4y$

$\implies\cos4y=-\dfrac x2$

$ \ arccos \ left (- \ dfrac x2 \ right) = \begin{cases}2\pi+4y &\mbox{if } -2\pi\le4y<-\pi \\-4y &\mbox{if } -\pi\le4y<0\\ 4y &\mbox{if } 0\le4y\le\pi \\ 2\pi-4y & \mbox{if }\pi<4y\le2\pi \end {cases} $

Ahora $\arccos\left(-\dfrac x2\right)=\dfrac\pi2-\arcsin\left(-\dfrac x2\right)$

$\implies\arccos\left(-\dfrac x2\right)=\dfrac\pi2+\arcsin\dfrac x2$ como $\arcsin(-u)=-\arcsin u$

Answer 2

Puede observar que, para$x \in [0,1)$, tenemos $$ \ left (\ arcsin \ left (\ frac {1} {2} \ sqrt {2- \ sqrt {2-2x}} \ right) \ derecha) '= \ frac14 \ frac1 {\ sqrt {1-x ^ 2}} $$ y tenemos $$ \ left (\ frac {\ pi} {8} + \ frac {1} {4} \ arcsin x \ right) '= \ frac14 \ frac1 {\ sqrt {1-x ^ 2}} $$ dando

$$ \ arcsin (\ frac {1} {2} \ sqrt {2- \ sqrt {2-2x}}) = \ frac {\ pi} {8} + \ frac {1} {4} \ arcsin x, \ quad x \ en [0,1] $$

ya que ambas funciones toman el mismo valor en $x=0$ y en$x=1$.