Deje que$f$ sea una función meromórfica en el disco de la unidad abierta, de modo que$f$ tenga una extensión continua al círculo del límite. Supongamos que$f$ solo tiene polos en el disco de la unidad abierta y suponga que$|f(z)|=1$ para todos$z$ con$|z|=1$. Demuestre que$f$ es una función racional.
Respuesta
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Desde el cerrado de la unidad de disco es compacto, $f$ puede tener sólo un número finito de ceros y polos en el disco unidad. Deje $k$ ser el orden de $f$ en $0$, es decir, $f(z) = z^k\cdot g(z)$ donde $g$ es holomorphic en un barrio de $0$ con $g(0) \neq 0$. Deje $\zeta_1,\dotsc, \zeta_k$ ser los ceros de $f$ en el perforado de la unidad de disco, con multiplicidades $\mu_1,\dotsc,\mu_k$. Deje $\pi_1,\dotsc,\pi_r$ ser los polos de $f$ en el perforado de la unidad de disco con órdenes de $\nu_1,\dotsc,\nu_r$. Considerar el finito productos de Blaschke
$$Z(z) = \prod_{\kappa=1}^k \left(\frac{z - \zeta_\kappa}{1 - \overline{\zeta}_\kappa z}\right)^{\mu_\kappa}$$
y
$$P(z) = \prod_{\rho = 1}^r \left(\frac{z-\pi_\rho}{1-\overline{\pi}_\rho z}\right)^{\nu_\rho}.$$
Evidentemente,
$$h(z) = z^k\frac{Z(z)}{P(z)}$$
es una función racional, y tiene el mismo número de ceros y polos en la unidad de disco como $f$.
Ya que cada factor en $h$ ha módulo de $1$ sobre el círculo unidad, tenemos $\lvert h(z)\rvert = 1$ para todos los $z$ con $\lvert z\rvert = 1$, y por lo tanto
$$\frac{f(z)}{h(z)}$$
es un cero libre de holomorphic función en la unidad de disco con $\left\lvert \frac{f(z)}{h(z)}\right\rvert = 1$ para $\lvert z\rvert = 1$, por lo tanto constante.
Una forma alternativa de obtener el resultado es mediante el principio de reflejo:
$$F(z) = \begin{cases} f(z) &, \lvert z\rvert \leqslant 1 \\ \dfrac{1}{\overline{f(1/\overline{z})}} &, \lvert z\rvert > 1\end{cases}$$
define una función de meromorphic en $\widehat{\mathbb{C}}$ por el principio de reflejo. Una función de meromorphic en toda la esfera es una función racional, por lo $F$, y, por tanto, $f$ es racional.
