Demostrar que .

Question

¿Cómo probar que$$N = \frac{d_1 + d_2 + ... + d_n}{\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + ... + \frac{1}{d_n }}$$ where $ N \ in \ mathbb {N}$ and $ d_1, d_2, ..., d_n$ are divisors of $ N $?

Answer 1

Deje que$V$ sea el conjunto de todos los divisores de$N$.

Luego, tenga en cuenta que si$d\in V$ entonces$N/d\in V$. Y hay un bijection$f:V\to V$ mapeando$d\in V$ a$N/d\in V$.

Entonces, para cada$d_i$ hay un único$N/d_i$ y viceversa.

Por lo tanto,$\dfrac{\sum_id_i}{\sum_i\dfrac{1}{d_i}}=N.\dfrac{\sum_id_i}{\sum_i\dfrac{N}{d_i}}=N.\dfrac{\sum_id_i}{\sum_id_i}=N$