Duda de convolución

Question

Alguien puede explicar por qué la fórmula general de la convolución es esta:

PS

Pero cuando tanto$$(f*g)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-\tau)g(\tau)d\tau$ como$f(\tau)$ son iguales a cero para los valores negativos de$g(\tau)$, la convolución se convierte en:

PS

Siempre pensé que sería más lógico que se convirtiera en:

PS

Answer 1

Solo observe que para$\tau<0$ usted tiene$g(\tau)=0$ mientras que para$\tau>t$ tiene$f(t-\tau)=0$. En ambos casos $f(t-\tau)g(\tau) = 0$. Por lo tanto, $$ \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} f (t- \ tau) g (\ tau) \, d \ tau = \ int_0 ^ tf (t- \ tau) g (\ tau) \, d \ tau. $$

Answer 2

Sugerencia: Utilice las funciones de indicador para este tipo de problemas.

Escriba$f(t)$ como$f(t)1_{\{t \geq 0\}}$ y$g(t)$ como$g(t)1_{\{t \geq 0\}}$. Entonces el integrando se convierte en$$ f(t-\tau)g(\tau)1_{\{\tau \leq t,\tau\geq 0\} } = f(t-\tau)g(\tau)1_{\{0 \leq \tau \leq t\} }$ $

$\blacksquare$

Answer 3

Cuando estamos interesados en la evaluación de la salida$(f*g)(t)$ solo en un instante de tiempo, digamos$t=t_0$, usamos:

PS

Cuando estamos interesados en la salida$$(f*g)(t_0)=\int_{0}^{t_0}f(t-\tau)g(\tau)d\tau$ de$(f*g)(t)$ usamos:

PS