La prueba de que el factorial es nonelementary

Question

Hay una prueba de que la función factorial $!:\mathbb N\to\mathbb N$ es nonelementary?

Si fuera igual a una función primaria ( $P(n)$ ), luego se extendería la función factorial a los reales y los números complejos. Esto suena como la función Gamma, pero tenemos $\dfrac{\Gamma(n+1)}{\Gamma(n)}=n$ para todos los verdaderos $n$. Es totalmente posible que $\dfrac{P(n)}{P(n-1)}$ no $n$, sino más bien algo como $n+\sin(\pi n)$ que sólo es igual a $n$ en los enteros. (También, nunca he encontrado una prueba de que Gamma es nonelementary. Me hacen saber que la función Gamma incompleta es nonelementary, debido a la diferencia de la teoría de Galois.)

También, el hecho de que $\pi$ aparece en los límites que involucran factoriales no es una prueba, por el camino. Por ejemplo, el hecho de que: $$\lim_{n\to\infty}\frac{(n!)^2(n+1)^{2n^2+n}}{n^{2n^2+3n+1}}=2\pi,$$ que viene de Stirling aproximación, no es prueba de que no puede ser primaria; también tenemos: $$\lim_{n\to\infty}n(-1)^{1/n}-n=i\pi$$ así que es posible que las funciones elementales a tener $\pi$ como un valor de limitación.

Así que, ¿hay alguna prueba de que la función factorial es nonelementary?

Answer 1

Vamos a utilizar los siguientes hechos:

(i) La extensión de un dominio más grande, de no función primaria es también no-elemental;

(ii) La derivada de una función primaria es también elemental;

(iii) El producto de un número finito de funciones elementales es también elemental;

(iiii) El producto de una función primaria veces no primarias función no es elemental.

Reivindicación 1: $\Gamma(x)$ no es una función primaria.

Prueba. Asumir lo contrario. Por (i) $n!$ debe ser primaria, y (ii) así es $\Gamma'(x)=\Gamma(x)\psi^{(0)}(x)$, que por (iii) implica el mismo para $\psi^{(0)}(x)$ y todos sus derivados. Pero tenemos $$\psi^{(n)}(x)=(-1)^{n+1}\ n!\ \zeta(n+1,x),$$ where $\zeta(a,s)$ is the non-elementary Hurwitz zeta function, so combining (iii) and (iiii) yields that $\psi^{(n)}(x)$ is a non-elementary function, contradiction. $ \ \ \ \texto{QED} $

Reivindicación 2: $n!$ no es una función primaria.

Prueba. La Riemann zeta función cumple $$\begin{align} 2\ \pi^{-s/2}\Gamma\left(\frac{s}{2}\right)\zeta(s)&= \int_0 ^ \infty \left(\vartheta(0,it) -1\right)t^{s/2-1}dt,\end{align}$$ where $\vartheta(z,p)$ is the non-elementary Jacobi theta function. So let $s=2n$ to obtain $$\begin{align}2\pi^{-n}\Gamma(n)\zeta(2n) &= \int_0 ^ \infty \left(\vartheta(0,it) -1\right)t^{n-1}dt \\ 2\ \pi^{-n} (n-1)! \frac{ (-1)^{n+1} B_{2n}(2\pi)^{2n}}{2(2n)!} &= \int_0 ^ \infty \left(\vartheta(0,it) -1\right)t^{n-1}dt \\ - (-\pi)^n 2^{2n} B_{2n}\frac{(n-1)!}{(2n)!}&=\int_0 ^ \infty \left(\vartheta(0,it) -1\right)t^{n-1}dt.\end{align}$$ Now, by (i) the Bernoulli numbers are elementary, due to being a restriction of the Bernoulli polynomials, which are elementary. But the RHS is non-elementary by (ii), therefore by (iii) the ratio of factorials is non-elementary as well, and the claim follows combining this and (iii). $ \ \ \ \texto{QED} $

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Por supuesto, en la Reivindicación 1 se sigue directamente de la Reivindicación 2 por (i), pero quería darle dos diferentes y pruebas independientes.