Se sabe que $$\dfrac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)~dt=\dfrac{db(x)}{dx}f(x,b(x))-\dfrac{da(x)}{dx}f(x,a(x))+\int_{a(x)}^{b(x)}\dfrac{\partial}{\partial x}f(x,t)~dt.$$
¿ $$\dfrac{d}{dx}\prod_{a(x)}^{b(x)}f(x,t)^{dt}?$$
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Porque estamos en un conmutativa configuración, el producto integral que satisface
$$\prod_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)^{dt}=\exp\left(\int_{a(x)}^{b(x)}\log f(x,t)\,dt\right).$$
Por lo tanto, con la regla de la cadena y la regla de que el estado, que se derivan de
$$\frac{d}{dx}\log \left(\prod_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)^{dt}\right) = \frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{b(x)}\log f(x,t)dt$$ $$ = b'(x)\log f(x,b(x))-a'(x)\log f(x,a(x))+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}\log f(x,t)dt$$
por lo tanto
$$\frac{d}{dx}\prod_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)^{dt}=\left(\prod_{a(x)}^{b(x)} f(x,t)^{dt}\right)\left(\log \frac{f(x,b(x))^{b'(x)}}{f(x,a(x))^{a'(x)}}+\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\frac{\partial}{\partial x}f(x,t)}{f(x,t)}dt\right).$$
