Identidad de la relación completa de las integrales elípticas

Question

Puede ser fácilmente comprobado que tanto la completa las integrales elípticas $K(k), K'(k)$ satisfacen la misma ecuación diferencial de segundo orden $$kk'^{2}\frac{d^{2}y}{dk^{2}} + (1 - 3k^{2})\frac{dy}{dk} - ky = 0$$ and hence from the theory of second order differential equations there is a relation of the form $$K'(k) = cK(k)\cdot\log k + f(k)$$ where $c$ is some constant and $f(k)$ is some analytic function of $k$. The exact relation between $K(k)$ and $K'(k)$ is given by $$K'(k) = \frac{2K(k)}{\pi}\log\left(\frac{4}{k}\right) - 2\left[\left(\frac{1}{2}\right)^{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2}\right)k^{2} + \left(\frac{1\cdot 3}{2\cdot 4}\right)^{2}\left(\frac{1}{1\cdot 2} + \frac{1}{3\cdot 4}\right)k^{4} + \cdots\right]$$ It can be verified with some patience that the RHS does satisfy the differential equation given above and thereby the relation between $K'(k)$ and $K(k)$ puede ser establecido.

Sin embargo es una alternativa de la prueba basado en la definición de $K'(k)$ e $K(k)$ como completar las integrales elípticas o el uso de la hipergeométrica relación $$\frac{2K(k)}{\pi} =\,_{2}F_{1}\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}; 1; k^{2}\right)$$, que puede ser presentado a alguien inconsciente de la teoría de segundo orden ecuaciones diferenciales?

Answer 1

Deje $\tau$ ser un período adecuado de relación positiva con parte imaginaria (adecuado, lo que significa que $\tau$ es en un cierto número de principios fundamentales de dominio) y deje $q=\mathrm{e}^{\pi\mathrm{i}\tau}$ ser el nome. Entonces $$\frac{\mathrm{i}K'}{K} = \tau = \frac{1}{\pi\mathrm{i}}\log q$$ Ahora considere que $$k^2 = \frac{\vartheta_2^4(q)}{\vartheta_3^4(q)} = 16 q + \mathrm{O}(q^2)$$ donde $\vartheta_2$, $\vartheta_3$ son conocidos Jacobi thetanull funciones. La relación entre el $k^2$ e $q$ permite a los locales de inversión, así $q = \frac{k^2}{16}\left(1+\mathrm{O}(k^2)\right)$, por lo tanto $$\frac{\mathrm{i}K'}{K}=\frac{2}{\pi\mathrm{i}}\log\frac{k}{4}+\mathrm{O}(k^2)$$ que es el tratado de relación.