Supongamos que f∈C2 , f″ \,\,\,\forall x \in [a,b] . Quiero demostrar que \frac{1}{2}(b-a)(f(a)+f(b))\leq \int_a^bf(t)\,dt\leq (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right). Si dividimos por b-a vemos que el término de la izquierda es menor que el término de la derecha por definición de convexidad, y queda por demostrar que el valor medio de la función se encuentra entre f\left(\frac{a+b}{2}\right) y \frac{1}{2}(f(a)+f(b)) .
El teorema del valor medio de las integrales implica que el valor medio se alcanza en algún punto c\in (a,b) . Pero no me queda claro por qué f(c) debe encontrarse entre otros dos puntos. Quizá haya otro teorema sobre la integración que debamos aplicar. ¿Alguna idea?