Para una función convexa, el valor medio se sitúa entre $f((a+b)/2)$ y $(f(a) + f(b))/2$

Question

Supongamos que $f\in C^2$ , $f''(x)\geq 0$ $\,\,\,\forall x \in [a,b]$ . Quiero demostrar que $$\frac{1}{2}(b-a)(f(a)+f(b))\leq \int_a^bf(t)\,dt\leq (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right).$$ Si dividimos por $b-a$ vemos que el término de la izquierda es menor que el término de la derecha por definición de convexidad, y queda por demostrar que el valor medio de la función se encuentra entre $f\left(\frac{a+b}{2}\right)$ y $\frac{1}{2}(f(a)+f(b))$ .

El teorema del valor medio de las integrales implica que el valor medio se alcanza en algún punto $c\in (a,b)$ . Pero no me queda claro por qué $f(c)$ debe encontrarse entre otros dos puntos. Quizá haya otro teorema sobre la integración que debamos aplicar. ¿Alguna idea?

Answer 1

He aquí una respuesta que no presupone $f$ es diferenciable.

$f$ es convexo si $\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$ es no decreciente en ambos $x$ y $y$ . Si $f$ es convexa, $f$ es continua.

Supongamos que $a\lt b$ y que $c=\frac{a+b}{2}$ .

Desde $\dfrac{f(x)-f(c)}{x-c}$ es no decreciente, $$ D^-=\sup_{x\lt c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \le\inf_{x\gt c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=D^+\tag{1} $$ Sea $D=\frac{D^-{+}D^+}{2}$ .

Desigualdad $(1)$ dice $$ f(x)-f(c)\ge D(x-c)\tag{2} $$ Integre $(2)$ en $[a,b]$ para obtener $$ \begin{align} \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x-(b-a)f(c) &\ge D\left[\frac12x^2-cx\right]_a^b\\ &=D\left[\frac12(b^2-a^2)-\frac{a+b}2(b-a)\right]\\[6pt] &=0\tag{3} \end{align} $$ Para cualquier $x\in[a,b]$ la convexidad de $f$ implica $$ \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\tag{4} $$ por lo tanto, puesto que $(x-a)(x-b)\le0$ , $(4)$ es equivalente a $$ (x-b)(f(x)-f(a))\ge(x-a)(f(x)-f(b))\tag{5} $$ Resta $xf(x)$ de ambos lados de $(5)$ e integrar para obtener $$ \frac12(b^2-a^2)(f(b)-f(a))+(bf(a)-af(b))(b-a) \ge(b-a)\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\tag{6} $$ Divide ambos lados de $(6)$ por $b-a$ y reagruparse para obtener $$ \begin{align} \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x &\le\frac12(a+b)(f(b)-f(a))+(bf(a)-af(b))\\ &=\frac12(b-a)(f(a)+f(b))\tag{7} \end{align} $$ En $(3)$ y $(7)$ juntos producen $$ (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x \le\frac12(b-a)(f(a)+f(b))\tag{8} $$

Answer 2

Creo que hay que invertir la desigualdad.

$\displaystyle \frac{b-a}{2}f\Big(\frac{b+a}{2}\Big)-\int_a^{\frac{b+a}{2}}f(t)\,dt=\int_a^{\frac{b+a}{2}}\int_t^{\frac{b+a}{2}}f'(s)\,ds\,dt\le\int_{\frac{b+a}{2}}^{b}\int_{\frac{b+a}{2}}^{t}f'(s)\,ds\,dt$ (ya que $f'(s)$ es mayor en esta última región y la integración se realiza sobre un dominio del mismo tamaño) $\displaystyle=\int_{\frac{b+a}{2}}^{b}f(t)\,dt-\frac{b-a}{2}f\Big(\frac{b+a}{2}\Big),$ de ahí $\displaystyle (b-a)f(\frac{b+a}{2})\le\int_a^b f(t)\,dt$ .

Del otro lado:

$\displaystyle \int_a^{\frac{b+a}{2}}f(t)\,dt-\frac{b-a}{2}f(a)=\int_a^{\frac{b+a}{2}}\int_a^{t}f'(s)\,ds\,dt\le \int_{\frac{b+a}{2}}^{b}\int_{t}^{b}f'(s)\,ds\,dt=\frac{b-a}{2}f(b)-\int_{\frac{b+a}{2}}^b f(t)\,dt\,,$ de ahí $\displaystyle \int_a^b f(t)\,dt\le\frac{b-a}{2}(f(b)+f(a))\,.$

Answer 3

Por un cambio de variable $t \rightarrow a + b - t$ , tienes $\int_a^bf(t)\,dt = \int_a^bf(a + b - t)\,dt$ así que lo que intentas demostrar es equivalente a $$(b-a)(f(a)+f(b))\leq \int_a^b(f(t) + f(a + b - t))\,dt\leq 2(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$ Entonces basta con demostrar que para cada $a < t < b$ que $$f(a)+f(b)\leq f(t) + f(a + b - t)\leq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right)$$ El resultado se obtendrá integrando en $t$ de $a$ a $b$ . Por simetría basta con ver $a < t < {a + b \over 2}$ . La desigualdad de la izquierda puede reescribirse como $$f(b) - f(a + b - t) \leq f(t) - f(a)$$ Por el teorema del valor medio, el lado izquierdo es $(t - a)f'(c)$ para algunos $c > a + b - t > {a + b \over 2}$ y el lado derecho es $(t-a)f'(d)$ para algunos $d < t < {a + b \over 2}$ . Así, el hecho de que $f'' \leq 0$ da la desigualdad.

Análogamente, la desigualdad de la derecha puede reescribirse como $$f(a + b - t) - f(\frac{a + b}{2}) \leq f(\frac{a + b}{2}) - f(t)$$ El lado izquierdo es $(\frac{a + b}{2} - t)f'(d)$ para algunos $d > {a + b \over 2}$ y el lado derecho es $(\frac{a + b}{2} - t)f'(c)$ con $c < {a + b \over 2}$ por lo que la condición de que $f'' \leq 0$ da también la desigualdad de la derecha.

Tenga en cuenta que sólo necesita que $f'$ es decreciente, en realidad no necesitas que exista la segunda derivada.