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7 votos

Para una función convexa, el valor medio se sitúa entre f((a+b)/2) y (f(a)+f(b))/2

Supongamos que fC2 , f \,\,\,\forall x \in [a,b] . Quiero demostrar que \frac{1}{2}(b-a)(f(a)+f(b))\leq \int_a^bf(t)\,dt\leq (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right). Si dividimos por b-a vemos que el término de la izquierda es menor que el término de la derecha por definición de convexidad, y queda por demostrar que el valor medio de la función se encuentra entre f\left(\frac{a+b}{2}\right) y \frac{1}{2}(f(a)+f(b)) .

El teorema del valor medio de las integrales implica que el valor medio se alcanza en algún punto c\in (a,b) . Pero no me queda claro por qué f(c) debe encontrarse entre otros dos puntos. Quizá haya otro teorema sobre la integración que debamos aplicar. ¿Alguna idea?

5voto

Anthony Shaw Puntos 858

He aquí una respuesta que no presupone f es diferenciable.

f es convexo si \frac{f(x)-f(y)}{x-y} es no decreciente en ambos x y y . Si f es convexa, f es continua.

Supongamos que a\lt b y que c=\frac{a+b}{2} .

Desde \dfrac{f(x)-f(c)}{x-c} es no decreciente, D^-=\sup_{x\lt c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c} \le\inf_{x\gt c}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}=D^+\tag{1} Sea D=\frac{D^-{+}D^+}{2} .

Desigualdad (1) dice f(x)-f(c)\ge D(x-c)\tag{2} Integre (2) en [a,b] para obtener \begin{align} \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x-(b-a)f(c) &\ge D\left[\frac12x^2-cx\right]_a^b\\ &=D\left[\frac12(b^2-a^2)-\frac{a+b}2(b-a)\right]\\[6pt] &=0\tag{3} \end{align} Para cualquier x\in[a,b] la convexidad de f implica \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\le\frac{f(x)-f(b)}{x-b}\tag{4} por lo tanto, puesto que (x-a)(x-b)\le0 , (4) es equivalente a (x-b)(f(x)-f(a))\ge(x-a)(f(x)-f(b))\tag{5} Resta xf(x) de ambos lados de (5) e integrar para obtener \frac12(b^2-a^2)(f(b)-f(a))+(bf(a)-af(b))(b-a) \ge(b-a)\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x\tag{6} Divide ambos lados de (6) por b-a y reagruparse para obtener \begin{align} \int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x &\le\frac12(a+b)(f(b)-f(a))+(bf(a)-af(b))\\ &=\frac12(b-a)(f(a)+f(b))\tag{7} \end{align} En (3) y (7) juntos producen (b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) \le\int_a^bf(x)\,\mathrm{d}x \le\frac12(b-a)(f(a)+f(b))\tag{8}

4voto

executor21 Puntos 2332

Creo que hay que invertir la desigualdad.

\displaystyle \frac{b-a}{2}f\Big(\frac{b+a}{2}\Big)-\int_a^{\frac{b+a}{2}}f(t)\,dt=\int_a^{\frac{b+a}{2}}\int_t^{\frac{b+a}{2}}f'(s)\,ds\,dt\le\int_{\frac{b+a}{2}}^{b}\int_{\frac{b+a}{2}}^{t}f'(s)\,ds\,dt (ya que f'(s) es mayor en esta última región y la integración se realiza sobre un dominio del mismo tamaño) \displaystyle=\int_{\frac{b+a}{2}}^{b}f(t)\,dt-\frac{b-a}{2}f\Big(\frac{b+a}{2}\Big), de ahí \displaystyle (b-a)f(\frac{b+a}{2})\le\int_a^b f(t)\,dt .

Del otro lado:

\displaystyle \int_a^{\frac{b+a}{2}}f(t)\,dt-\frac{b-a}{2}f(a)=\int_a^{\frac{b+a}{2}}\int_a^{t}f'(s)\,ds\,dt\le \int_{\frac{b+a}{2}}^{b}\int_{t}^{b}f'(s)\,ds\,dt=\frac{b-a}{2}f(b)-\int_{\frac{b+a}{2}}^b f(t)\,dt\,, de ahí \displaystyle \int_a^b f(t)\,dt\le\frac{b-a}{2}(f(b)+f(a))\,.

2voto

user3035 Puntos 91

Por un cambio de variable t \rightarrow a + b - t , tienes \int_a^bf(t)\,dt = \int_a^bf(a + b - t)\,dt así que lo que intentas demostrar es equivalente a (b-a)(f(a)+f(b))\leq \int_a^b(f(t) + f(a + b - t))\,dt\leq 2(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right) Entonces basta con demostrar que para cada a < t < b que f(a)+f(b)\leq f(t) + f(a + b - t)\leq 2f\left(\frac{a+b}{2}\right) El resultado se obtendrá integrando en t de a a b . Por simetría basta con ver a < t < {a + b \over 2} . La desigualdad de la izquierda puede reescribirse como f(b) - f(a + b - t) \leq f(t) - f(a) Por el teorema del valor medio, el lado izquierdo es (t - a)f'(c) para algunos c > a + b - t > {a + b \over 2} y el lado derecho es (t-a)f'(d) para algunos d < t < {a + b \over 2} . Así, el hecho de que f'' \leq 0 da la desigualdad.

Análogamente, la desigualdad de la derecha puede reescribirse como f(a + b - t) - f(\frac{a + b}{2}) \leq f(\frac{a + b}{2}) - f(t) El lado izquierdo es (\frac{a + b}{2} - t)f'(d) para algunos d > {a + b \over 2} y el lado derecho es (\frac{a + b}{2} - t)f'(c) con c < {a + b \over 2} por lo que la condición de que f'' \leq 0 da también la desigualdad de la derecha.

Tenga en cuenta que sólo necesita que f' es decreciente, en realidad no necesitas que exista la segunda derivada.

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