Hecke $L$ -Ejercicio de la serie en Temas Avanzados de Aritmética de la CE de Silverman

Question

Me gustaría remitirle a los apartados 2.30 y 2.32 del libro de Silverman Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves.

2.30(b)[(c) en la fe de erratas]: Supongamos que $\mathfrak{P}$ permanece inerte en $L'$ , digamos que $\mathfrak{P}R_{L'}=\mathfrak{P}'$ . Demostrar que $$q_{\mathfrak{P}}^2=q_{\mathfrak{P}'},\quad a_{\mathfrak{P}}=0,\quad\psi_{E/L'}(\mathfrak{P}')=-q_{\mathfrak{P}}.$$ 2.32(a) Demuestre que el local $L$ -serie de $E$ en $\mathfrak{P}$ viene dada por $$ L_{\mathfrak{P}}(T,E/L) = \left\{ \begin{array}{l l} \cdots & \quad \mathfrak{P}\text{ splits}\\ 1-\psi_{E/L'}(\mathfrak{P}')T & \quad \text{$\mathfrak{P}$ inert}\\ \cdots & \quad \mathfrak{P}\text{ ramifies}\\ \end{array} \right.$$

Al principio del capítulo, tenemos que si $E$ tiene una buena reducción (en este caso, tenemos una buena reducción debido a 2.30(c)) $$L_{\mathfrak{P}}(T,E/L) = 1-a_{\mathfrak{P}}T+q_{\mathfrak{P}}T^2$$ Entonces, ¿falta una potencia de 2 en la pregunta? $T$ ? ¿Debería ser $1-\psi_{E/L'}(\mathfrak{P}')T^2\text{when is $ \ de la que se ha hablado en la página web. $ inert}$ ? Estoy seguro de que he cometido un error en alguna parte, debido a 2.32(b). ¡Gracias por la ayuda! (Si ayuda, puedo imprimir la pregunta; dilo en los comentarios y lo haré).

Answer 1

La pregunta no tiene nada de malo. La sutileza es que $T$ no es constante con respecto a los campos $L'$ y $L$ . Mi error fue que tomé $T$ ser el mismo en ambos campos cuando en realidad no lo es.

\begin{align*} L(s,E/L)&=\prod_{\text{$\mathfrak{P}$ in $L$}}\left(1-a_{\mathfrak{P}}q_{\mathfrak{P}}^{-2}+q_{\mathfrak{P}}^{1-2s}\right)^{-1}\\ &=\prod_{\text{$\mathfrak{P}$ in $L$}}\left(1+q_{\mathfrak{P}}^{1-2s}\right)^{-1}\\ &=\prod_{\text{$\mathfrak{P}$ in $L$}}\left(1+q_{\mathfrak{P}}q_{\mathfrak{P}}^{-2s}\right)^{-1}\\ &=\prod_{\text{$\mathfrak{P}$ in $L$}}\left(1+q_{\mathfrak{P}}q_{\mathfrak{P}'}^{-s}\right)^{-1}\\ &=\prod_{\text{$\mathfrak{P}'$ in $L'$}}\left(1-\psi_{E/L'}(\mathfrak{P}')q_{\mathfrak{P}'}^{-s}\right)^{-1}\\ &=L(s,\psi_{E/L'}) \end{align*}