Apertura de un mapa de $G$ -espacios

Question

Esta es la pregunta 10 del capítulo 1 de Bredon, Introducción a los grupos de transformación compactos .

Dejemos que $G$ sea un grupo compacto, $X$ y $Y$ sea $G$ -(espacios de Hausdorff con una continua $G$ -acción), y $f: X \to Y$ a $G$ -equivariante. Supongamos que $f$ restringe a un homeomorfismo de cada órbita $f: G(x) \overset{\cong} \to G(f(x))$ y que el mapa inducido $f': X/G \to Y/G$ está abierto. Demostrar que $f$ está abierto.

Esto es intuitivamente cierto, pero no he sido capaz de dar un argumento formal. Dado $U \subset X$ abierta, la proyección $f(U) \to Y \to Y/G$ tiene la imagen abierta, y las fibras $f(U) \cap G(y)$ son relativamente abiertas en las órbitas, pero eso por sí solo no lo consigue. Creo que podría hacerlo si hubiera secciones locales de $Y \to Y/G$ pero no necesariamente existen. ¿Alguien me indica la dirección correcta?

Answer 1

$$\require{AMScd} \begin{CD} X @>f>> Y \\ @Vp_XVV @VVp_YV \\ X/G @>>f'> Y/G \end{CD}$$

Dejemos que $U \subset X$ estar abierto, $y$ sea un punto límite de $f(U)$ y $x$ sea cualquier preimagen de $y$ . Dejemos que $\mathcal{A}_y = \{V_\alpha\}_{\alpha \in A}$ y $\mathcal{B}_x = \{W_\beta\}_{\beta \in B}$ sean las colecciones de todos los conjuntos abiertos en $Y$ y $X$ que contiene $y$ y $x$ respectivamente. Dar $A$ y $B$ ordenaciones por inclusión inversa, por ejemplo $\alpha \ge \alpha'$ si $V_\alpha \subset V_{\alpha'}$ . A continuación, ponga la ordenación cartesiana en $A \times B$ y definir las redes en $Y \setminus f(U)$ y $X/G$ eligiendo para cada $(\alpha, \beta)$ puntos $y_{\alpha,\beta} \in V_\alpha \cap Gf(W_\beta) \setminus f(U)$ y $\sigma_{\alpha, \beta} \in p_X(W_\beta)$ tal que $f'(\sigma_{\alpha,\beta}) = Gy_{\alpha,\beta}$ . (Aquí utilizamos que $Gf(W_\beta) = p_Y^{-1} \circ f' \circ p_x(W_\beta)$ está abierto). Entonces dejemos que $x_{\alpha, \beta} = (f |_{\sigma_{\alpha,\beta}})^{-1}(y_{\alpha,\beta}) $ y elija $g_{\alpha,\beta} \in G$ tal que $g_{\alpha,\beta}x_{\alpha,\beta} \in W_\beta$ . Por construcción, estas redes convergen $y_{\alpha,\beta} \to y$ y $\sigma_{\alpha,\beta} \to Gx$ y $g_{\alpha,\beta}x_{\alpha,\beta} \to x$ .

Desde $G$ es compacto, podemos suponer después de pasar a una subred que $g_{\alpha,\beta}$ converge a algún $g$ . Como estos espacios son Hausdorff, los límites son únicos, por lo que $$y = f(x) = \lim g_{\alpha,\beta}f(x_{\alpha,\beta}) = \lim g_{\alpha,\beta}y_{\alpha,\beta} = gy.$$ Así, $g$ está en el estabilizador $G_y$ de $y$ y posteriormente $g \in G_x$ también, ya que $f|_{Gx}: Gx \to Gy$ es un homeomorfismo y $G$ es compacto. Entonces tenemos la convergencia $$x_{\alpha,\beta} = g_{\alpha,\beta}^{-1}(g_{\alpha,\beta}x_{\alpha,\beta}) \to g^{-1} x = x.$$ Desde $x_{\alpha,\beta} \in X \setminus U$ concluimos que $x \in X \setminus U$ y como $x \in f^{-1}(y)$ era arbitraria, $y \in Y \setminus f(U)$ .