Demostrar que $2xy\mid x^2+y^2-x$ implica $x$ es un cuadrado perfecto.

Question

Demostrar que $2xy\mid x^2+y^2-x$ implica $x$ es un cuadrado perfecto.
Mi trabajo:
$2xy\mid x^2+y^2-x \implies x^2+y^2-x=2xy\cdot k$
Así que, $x^2+y^2+2xy-x=(x+y)^2-x=2xy \cdot (k+1)$
Y, $x^2+y^2-2xy-x=(x-y)^2-x=2xy \cdot (k-1)$
Encontré que para $x,y$ tanto impar, no existe ninguna solución. Para $x$ incluso, y $y$ impar, no existe ninguna solución. La solución sólo existe para $x$ impar, $y$ incluso y $x$ incluso y $y$ incluso existe una solución. No se puede hacer nada más. Por favor, ayuda.

Answer 1

Utilizamos lo siguiente

Es un hecho: Un entero no nulo es un cuadrado perfecto (es decir, un número de la forma $k^2$ o $-k^2$ ) si, y sólo si, en su factorización primaria, el exponente de cada factor primo es par.

Ahora dejemos que $p$ sea cualquier factor primo de $x$ y $k$ el exponente de $p$ en la factorización primaria de $x$ . Si $k$ es uniforme, no hay nada que mostrar. Así que supongamos que $k$ es impar: $k=2j+1$ .

Entonces $p^k|x|2xy|x^2+y^2-x$ . Desde $p^k|x^2-x$ también hay que tener en cuenta que $p^{2j+1}=p^k|y^2$ . Desde $y^2$ es un cuadrado, también $p^{k+1}=p^{2j+2}|y^2$ .

Pero entonces $p^{k+1}|2xy|x^2+y^2-x$ . Pero como $p^{k+1}|x^2+y^2$ también se deduce que $p^{k+1}|x$ . Esto es una contradicción (asumimos que $k$ es el exponente de $p$ en la factorización de $x$ ).

Desde $p$ era un factor primo arbitrario, los exponentes de todos los factores primos en la factorización primaria de $x$ son pares, es decir $x$ es un cuadrado en el sentido anterior.

Editar: Precisa lo que se entiende por un cuadrado.

Answer 2

Observe que $\ x\mid y^2\,$ y $\ x = (x\!-\!ky)^2+(1\!-\!k^2)y^2\ ( =\, x^2\!+y^2-2kxy,\ k\in\Bbb Z).\ $ Aplicar ahora

Teorema $\quad\, n\mid y^2\,$ y $\ n = z^2\!+ay^2\,\Rightarrow\, n\, =\, \pm (z,y)^2$

Prueba $\ \pm n = (n,y^2) = (z^2\!+ay^2,y^2) = (z^2,y^2) = (z,y)^2\, $ por El sueño de un estudiante de primer año de GCD $\ $ QED